這幾天，突然下了比較大的雪。打算翻出一道積分習題做做。

$$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\cos x}{x^2+a^2}\textozvdkddzhkzdx$$ 其中$a>0$

?

不知道這個積分是從什么問題中被提出來的(會不會是幾百年前某些人研究某個東西得到的？)。打算用Residue formula來算,應該有軟件可以自動算這些積分了.（Mathematica應該可以）,不過我機器比較老了。

新版的軟件總是比較大。還是自己手動算下。

算這個函數$$f(z)=\frac{e^{iz}}{z^2+a^2}$$在$$\{(x,y)|x^2+y^2=R^2,y \geq 0\} \bigcup \{(x,y)|-R\leq x \leq R, y=0\}$$

的積分. 由Residue公式,$R>a$的時候，有

$$\int_{\Gamma}\frac{e^{iz}}{z^2+a^2} \textozvdkddzhkzdz=2 \pi i \frac{e^{-a}}{2ai}$$

由于在圓弧上,有$$\left|\int_{\Gamma_R}\frac{e^{iz}}{z^2+a^2}\textozvdkddzhkzdz\right|\leq \int_0^{\pi}\left|\frac{e^{iRe^{i\varphi}}}{R^2e^{i2\varphi+a^2}}Re^{i\varphi}i\right|\textozvdkddzhkzd\varphi$$

$$\leq \frac{M}{R} \rightarrow 0$$

當$R \rightarrow +\infty$的時候，$$\int_{\Gamma}\frac{e^{iz}}{z^2+a^2} \textozvdkddzhkzdz = \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{ix}}{x^2+a^2}\textozvdkddzhkzdx$$

取實部，得到

$$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\cos x}{x^2+a^2}\textozvdkddzhkzdx=2\pi i? \times \frac{e^{-a}}{2ai} = \frac{\pi}{a}e^{-a}$$

我沒試過用其他方法來計算這個積分.應該還有別的方法.雪化的比較快

?用Residue formula算這個積分不用花什么力氣。不過這個積分應該是幾百年前的東西。不知道那個時候的人是怎么算這個。雖然借助于Residue可以算出來。不過內心任然覺得無法理解。

轉載于:https://www.cnblogs.com/TomodaMaki/archive/2013/02/20/2917933.html

總結

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