有效括號生成

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    • • 深度搜索法
      • • python代碼
      • 動態規劃法
      • • python代碼

??合法的括號匹配的問題之前已經講解過了，現在再看一個括號生成的題目。

題目描述

給出 n 代表生成括號的對數，請你寫出一個函數，使其能夠生成所有可能的并且有效的括號組合。

例如，給出 n = 3，生成結果為：

[ “((()))”, “(()())”, “(())()”, “()(())”, “()()()” ]

題目分析

??既然之前已經分析過合法的括號判斷，那么只要把n個左括號和n個右括號全排列，然后對排列的結果去做一個有效驗證，好了，這個問題解決了。但是仔細一分析，判斷一個括號是否有效，復雜度$O(n)$，生成2n個括號字符的全排列，時間復雜度$O(2^{2n})$，這很難辦啊。所以全排列的方式行不通。

深度搜索法

??全排列里面有很多左括號和右括號數目不等的，可以直接排除了，所以浪費了很多判斷。我們可以通過回溯提前把不合理的字符排除掉。但是回溯法只能是逐漸的字符串變長，也就是深度優先搜索的原理。但是我們這個時候在每一次增加括號的時候，我們保證右括號不會超過當前的左括號數目即可。還要保證最終的括號數目，左括號和右括號的數目都是n。
??根據這個思想，我們可以去寫代碼了，我們記錄下當前左括號的數目，記錄下當前右括號的數目，如果左括號大于右括號，且左括號數目小于n，此時我們深度搜索的路徑包括兩條，添加左括號和右括號。如果左括號數目等于n了，那么就只有一條路徑，如果左括號數目等于右括號數目了且不等于n，此時只能添加左括號。如果兩者數目相等，且等于n，則可以返回了，已經生成了一組合法的括號字符。整個算法就是一個深度遍歷，可以采用遞歸來實現。

python代碼

class Solution:def generateParenthesis(self,n):ans=[]self.max=nself.backtrack(ans, "", 0, 0)return ansdef backtrack(self, ans, cur, left, right):if left==self.max:ans.append(cur +')' * (self.max - right))returnif(left<self.max):self.backtrack(ans, cur +'(', left + 1, right)if right<left:self.backtrack(ans, cur +')', left, right + 1)

??可以看到，這種方式保證了左括號的數目始終多于右括號，這樣生成出來的一定是合法的括號字符串。因為每次生成保證了都是合法的前綴，這個復雜度就大大的減少了。
??事實上，合法的括號數目，我們在卡特蘭數的應用分析了n個括號的合法種類數就是卡特蘭數列的第n項，我們大致可以根據卡特蘭數的性質，分析問題的規模。我們知道卡特蘭數的漸進上界是$O\left(\frac{4^n}{\sqrt{n}}\right)$，而每一個合法的序列，我們是通過$O(n)$次添加字符生成出來的。

動態規劃法

??既然這個問題和卡特蘭數相關，那么一定可以根據卡特蘭數的特點，一定可以把這個問題轉換成以前所有狀態的窮舉。說的通俗一點就是，如果我們研究問題規模為n，那么問題規模之和為n-1的兩兩組合一定可以用得上，如果這句話理解不了可以直接跳到下一段。
??我們為了降低問題規模，可以考慮在問題規模為n-1的情況上加一對括號，可是這個多出來的一對括號應該往哪加。顯然，我們可以把這個括號加在所有的合法匹配的括號之后。如果合法匹配數為0的時候，我們就把括號加在了最前面，就是$()+d{p}_{n?1}$，再者我們可以把括號加到一對合法括號后面，也是$(d{p}_1)+d{p}_{n?2}$依次類推，n-1個合法的括號總共可以分解出n-1種情況。每個情況分為兩部分，前面一部分是dp_i，后面一部分是dp_n-1-i，其實也就是兩部分滿足下標之和為n-1就行。
??據此我們可以寫出動態規劃的遞歸式。$d{p}_i="("+d{p}_j+")"+d{p}_{i?j?1},wherej<i$。事實上，幾乎所有的卡特蘭數問題都可以寫成類似的遞推式，對所有兩兩組合為n-1的情況然后窮舉，并做出一定的修改。大家可以記住這個結論，當然也可以寫成數學表達式，我直接寫成程序的表達式即可。下面就可以根據這個表達式寫代碼。只需要對$d{p}_j$和$d{p}_{i?j?1}$做個全排列即可。

python代碼

class Solution:# 動態規劃def generateParenthesis(self, n: int) -> List[str]:dp=[[] for i in range(n+1)]dp[0]=['']for i in range(1,n+1):for j in range(i):dp[i].extend(self.compent(dp[j],dp[i-j-1]))return dp[n]def compent(self, l, r):# 全排列代碼，當時只寫了一行，為了大家好理解，特此重寫一份res=[]for s1 in l:for s2 in r:res.append('('+s1+')'+s2 )return res

??分析時間復雜度的時候大家需要注意一下，就是雖然這個代碼寫出來是4個for，但是這個代碼的時間復雜度不是$O(n^4)$，相比于上面的回溯法，其實時間復雜度的指數部分還是保持的，單是求問題規模等于n的情況，時間復雜度就已經達到了$O\left(\frac{4^n}{\sqrt{n}}\right)$。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的有效括号生成的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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