清風：數學建模算法、編程和寫作培訓

• 一、評價模型
• • 1.1 層次分析法
  • 1.2 代碼詳解
  • 1.3 模型拓展
  • 1.4 課后作業
• 二、插值與擬合模型
• 三、相關性模型
• 四、回歸模型
• 五、圖論模型
• 六、分類問題
• 七、聚類模型
• 八、時間序列模型
• 九、預測模型
• 十、降維模型

一、評價模型

1.1 層次分析法

其主要用于解決評價類問題(例如:選擇哪種方案最好、哪位運動員或者員工表現的更優秀)。

1.2 代碼詳解

1.3 模型拓展

1.4 課后作業

層次分析法 (The analytic hierarchy process, 簡稱AHP)

% 在每一行的語句后面加上分號(一定要是英文的哦;中文的長這個樣子；)表示不顯示運行結果 % 多行注釋:選中要注釋的若干語句,快捷鍵Ctrl+R % 取消注釋:選中要取消注釋的語句,快捷鍵Ctrl+Tdisp('請輸入判斷矩陣A') %matlab中disp()就是屏幕輸出函數，類似于c語言中的printf（）函數 % 注意，disp函數比較特殊，這里可要分號，可不要分號哦A=input('A='); % 這里輸入的就是我們的判斷矩陣，其為n階方陣（行數和列數相同） % [1 3 1/3 1/3 1 1/3;1/3 1 1/4 1/5 1 1/5;3 4 1 1 2 3;3 5 1 1 2 1;1 1 1/2 1/2 1 1;3 5 1/3 1 1 1] % [1 1 4 1/3 3;1 1 4 1/3 3;1/4 1/4 1 1/3 1/2;3 3 3 1 3;1/3 1/3 2 1/3 1]% 在開始下面正式的步驟之前，我們有必要檢驗下A是否因為粗心而輸入有誤 ERROR = 0; % 默認輸入是沒有錯誤的 %(1)檢查矩陣A的維數是否不大于1或不是方陣 [r,c]=size(A); %size(A)函數是用來求矩陣的大小的,返回一個行向量，第一個元素是矩陣的行數，第二個元素是矩陣的列數 %[r,c]=size(A) %將矩陣A的行數返回到第一個輸出變量r，將矩陣的列數返回到第二個輸出變量cif r ~= c || r <= 1% 注意哦，不等號是 ~= (~是鍵盤Tab上面那個鍵，要和Shift鍵同時按才會出來)，別和C語言里面的!=搞混了% ||表示邏輯運算符‘或’（在鍵盤Enter上面，也要和Shift鍵一起按） 邏輯運算符且是 && （&讀and，連接符號，是and的縮寫。 ）ERROR = 1; end % Matlab的判斷語句，if所在的行不需要冒號，語句的最后一定要以end結尾 ；中間的語句要注意縮進。%(2)檢驗是否為正互反矩陣 a_ij > 0 且 a_ij * a_ji = 1 if ERROR == 0[n,n] = size(A);% 因為我們的判斷矩陣A是一個非零方陣，所以這里的r和c相同，我們可以就用同一個字母n表示% 判斷是否有元素小于0% for i = 1:n% for j = 1:n% if A(i,j)<=0% ERROR = 2;% end% end% endif sum(sum(A <= 0)) > 0ERROR = 2;end end%順便檢驗n是否超過了15，因為RI向量為15維 if ERROR == 0if n > 15ERROR = 3;end endif ERROR == 0% 判斷 a_ij * a_ji = 1 是否成立if sum(sum(A' .* A ~= ones(n))) > 0ERROR = 4;end% A' 表示求出 A 的轉置矩陣，即將a_ij和a_ji互換位置% ones(n)函數生成一個n*n的全為1的方陣, zeros(n)函數生成一個n*n的全為0的方陣% ones(m,n)函數生成一個m*n的全為1的矩陣% MATLAB在矩陣的運算中，“/”號和“*”號代表矩陣之間的乘法與除法，對應元素之間的乘除法需要使用“./”和“.*”% 如果a_ij * a_ji = 1 滿足， 那么A和A'對應元素相乘應該為1 endif ERROR == 0% % % % % % % % % % % % %方法1： 算術平均法求權重% % % % % % % % % % % % %% 第一步：將判斷矩陣按照列歸一化（每一個元素除以其所在列的和）% 第二步：將歸一化的各列相加% 第三步：將相加后的向量除以n即可得到權重向量Sum_A = sum(A);% matlab中的sum函數的用法% a=sum(x);%按列求和% a=sum(x,2);%按行求和% a=sum(x(:));%對整個矩陣求和% % 基礎：matlab中如何提取矩陣中指定位置的元素？% % （1）取指定行和列的一個元素（輸出的是一個值）% % A(2,1) A(3,2)% % （2）取指定的某一行的全部元素（輸出的是一個行向量）% % A(2,:) A(5,:)% % （3）取指定的某一列的全部元素（輸出的是一個列向量）% % A(:,1) A(:,3)% % （4）取指定的某些行的全部元素（輸出的是一個矩陣）% % A([2,5],:) 只取第二行和第五行（一共2行）% % A(2:5,:) 取第二行到第五行（一共4行）% % （5）取全部元素(按列拼接的，最終輸出的是一個列向量)% % A(:)SUM_A = repmat(Sum_A,n,1);% B = repmat(A,m,n):將矩陣A復制m×n塊，即把A作為B的元素，B由m×n個A平鋪而成。% 另外一種替代的方法如下：% SUM_A = [];% for i = 1:n %循環哦，不需要加冒號，這里表示循環n次% SUM_A = [SUM_A;Sum_A];% endStand_A = A ./ SUM_A;% MATLAB在矩陣的運算中，“*”號和“/”號代表矩陣之間的乘法與除法，對應元素之間的乘除法需要使用“./”和“.*”% 這里我們直接將兩個矩陣對應的元素相除即可disp('算術平均法求權重的結果為：');disp(sum(Stand_A,2) / n)% 首先對標準化后的矩陣按照行求和，得到一個列向量，然后再將這個列向量的每個元素同時除以n即可（注意這里也可以用./哦）% % % % % % % % % % % % %方法2： 幾何平均法求權重% % % % % % % % % % % % %% 第一步：將A的元素按照行相乘得到一個新的列向量Prduct_A = prod(A,2);% prod函數和sum函數類似，一個用于乘，一個用于加% 第二步：將新的向量的每個分量開n次方Prduct_n_A = Prduct_A .^ (1/n);% 這里對元素操作，因此要加.號哦。 ^符號表示乘方哦 這里是開n次方，所以我們等價求1/n次方% 第三步：對該列向量進行歸一化即可得到權重向量% 將這個列向量中的每一個元素除以這一個向量的和即可disp('幾何平均法求權重的結果為：');disp(Prduct_n_A ./ sum(Prduct_n_A))% % % % % % % % % % % % %方法3： 特征值法求權重% % % % % % % % % % % % %% 計算矩陣A的特征值和特征向量的函數是eig(A),其中最常用的兩個用法：% （1）E=eig(A)：求矩陣A的全部特征值，構成向量E。% （2）[V,D]=eig(A)：求矩陣A的全部特征值，構成對角陣D，并求A的特征向量構成V的列向量。（V的每一列都是D中與之相同列的特征值的特征向量）[V,D] = eig(A); %V是特征向量, D是由特征值構成的對角矩陣（除了對角線元素外，其余位置元素全為0）Max_eig = max(max(D)); %也可以寫成max(D(:))哦~% 那么怎么找到最大特征值所在的位置了？ 需要用到find函數，它可以用來返回向量或者矩陣中不為0的元素的位置索引。% 下面例子來自博客：https://www.cnblogs.com/anzhiwu815/p/5907033.html% 關于find函數的更加深入的用法可參考原文% >> X = [1 0 4 -3 0 0 0 8 6];% >> ind = find(X)% ind =% 1 3 4 8 9% 其有多種用法，比如返回前2個不為0的元素的位置：% >> ind = find(X,2)% >> ind =% 1 3%若X是一個矩陣，索引該如何返回呢？% >> X = [1 -3 0;0 0 8;4 0 6]% X =% 1 -3 0% 0 0 8% 4 0 6% >> ind = find(X)% ind =% 1% 3% 4% 8% 9% 這是因為在Matlab在存儲矩陣時，是一列一列存儲的，我們可以做一下驗證：% >> X(4)% ans =% -3% 假如你需要按照行列的信息輸出該怎么辦呢？% [r,c] = find(X)% r =% 1% 3% 1% 2% 3% c =% 1% 1% 2% 3% 3% [r,c] = find(X,1) %只找第一個非0元素% r =% 1% c =% 1% 那么問題來了，我們要得到最大特征值的位置，就需要將包含所有特征值的這個對角矩陣D中，不等于最大特征值的位置全變為0% 這時候可以用到矩陣與常數的大小判斷運算，共有三種運算符：大于> ;小于< ;等于 == （一個等號表示賦值；兩個等號表示判斷）% 例如：A > 2 會生成一個和A相同大小的矩陣，矩陣元素要么為0，要么為1（A中每個元素和2比較，如果大于2則為1，否則為0）[r,c]=find(D == Max_eig , 1);% 找到D中第一個與最大特征值相等的元素的位置，記錄它的行和列。disp('特征值法求權重的結果為：');disp( V(:,c) ./ sum(V(:,c)) )% 我們先根據上面找到的最大特征值的列數c找到對應的特征向量，然后再進行標準化。% % % % % % % % % % % % %下面是計算一致性比例CR的環節% % % % % % % % % % % % %% 當CR<0.10時，我們認為判斷矩陣的一致性可以接受；否則應對其進行修正。CI = (Max_eig - n) / (n-1);RI=[0 0.00001 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59]; %注意哦，這里的RI最多支持 n = 15% 這里n=2時，一定是一致矩陣，所以CI = 0，我們為了避免分母為0，將這里的第二個元素改為了很接近0的正數CR=CI/RI(n);disp('一致性指標CI=');disp(CI);disp('一致性比例CR=');disp(CR);if CR<0.10disp('因為CR<0.10，所以該判斷矩陣A的一致性可以接受!');elsedisp('注意：CR >= 0.10，因此該判斷矩陣A需要進行修改!');end elseif ERROR == 1disp('請檢查矩陣A的維數是否不大于1或不是方陣') elseif ERROR == 2disp('請檢查矩陣A中有元素小于等于0') elseif ERROR == 3disp('A的維數n超過了15，請減少準則層的數量') elseif ERROR == 4disp('請檢查矩陣A中存在i、j不滿足A_ij * A_ji = 1') end

二、插值與擬合模型

三、相關性模型

四、回歸模型

五、圖論模型

六、分類問題

七、聚類模型

八、時間序列模型

九、預測模型

十、降維模型

總結

以上是生活随笔為你收集整理的清风：数学建模算法、编程和写作培训的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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