1.線性回歸閉合形式參數求解的原理

如果定義X為m*(n+1)的矩陣，Y為m1的矩陣，θ為(n+1)1維的矩陣，那么在之前的定義中就可以表示為h(x)=Xθ。則代價函數可以表示為J(θ)=1/2(Xθ-y)Т(Xθ-y),J(θ)為凹函數，我們要讓其值最小化，只需對該函數求導，然后令導數為0即可求得θ。對其求導后得到XTXθ-XTy，令其等于0，得到θ=(XTX)^-1XT*y。

2.線性回歸梯度下降參數求解的原理

我們構造了擬合函數h(θ),并且得到了損失函數J（θ），我們要求得使J（θ）取得最小值的θ，其原理還是求偏導然后使導數為0，我們對J（θ）求導得到(hθ(x) ? y) xj，然后可以得到對θj的更新公式

由于數據量較大，所以采用了隨機梯度下降，但是準確度相較于批量梯度下降來說會下降。在我的程序里，由于數據采用矩陣形式存儲，所以更新過程可以替換為

其中θ為(n+1)1維，X為m(n+1)維，Y為m*1維。梯度為0用損失函數差值小于1e-18來表示，說明這個點是損失函數的極小值點，但并不一定是最小值點。

3.相關文件

4.程序清單

相關包：

from sklearn.preprocessing import StandardScaler from sklearn.model_selection import train_test_split import pandas as pd import numpy as np import os import time from numpy import median from sklearn.preprocessing import OneHotEncoder

（一）讀取數據：

# 讀取數據 HOUSE_PATH = './'def load_housing_data(housing_path=HOUSE_PATH):csv_path = os.path.join(housing_path, 'housing.csv')return pd.read_csv(csv_path) housing = load_housing_data()

（二）數據處理：

# 將中位數補全空位 median = housing["total_bedrooms"].median() housing["total_bedrooms"].fillna(median, inplace=True)# 獨熱編碼 housing_category = housing[["ocean_proximity"]] cat_encoder = OneHotEncoder() housing_category_onehot = cat_encoder.fit_transform(housing_category) housing = housing.drop("ocean_proximity", axis=1) housing_values = np.c_[housing.values, housing_category_onehot.toarray()] housing_fixed = pd.DataFrame(housing_values,columns=list(housing.columns) +['<1H OCEAN', 'INLAND', 'ISLAND', 'NEAR BAY', 'NEAR OCEAN'],index=housing.index )

（三）分析數據相關性

# 分析數據相關性 corr_matrix = housing_fixed.corr() # 用corr計算兩兩特征之間的相關性系數 correlation = corr_matrix["median_house_value"].sort_values(ascending=False) # 跟街區價格中位數特征的其他特征的相關系數 print(correlation)

（四）將數據集分類

# 將數據集分類 train_set, test_set = train_test_split(housing_fixed, test_size=0.3, random_state=42) X_train = train_set[['longitude', 'latitude', 'housing_median_age','total_rooms', 'total_bedrooms', 'population', 'households', 'median_income', '<1H OCEAN', 'INLAND', 'ISLAND','NEAR BAY', 'NEAR OCEAN']] y_train = train_set[["median_house_value"]] X_test = test_set[['longitude', 'latitude', 'housing_median_age','total_rooms', 'total_bedrooms', 'population', 'households', 'median_income', '<1H OCEAN', 'INLAND', 'ISLAND','NEAR BAY', 'NEAR OCEAN']] y_test = test_set[["median_house_value"]] X = np.hstack([np.ones((len(X_train_std), 1)), X_train_std]) # 訓練集X Y = np.array(y_train_std) # 訓練集Y x = np.hstack([np.ones((len(X_test_std), 1)), X_test_std]) # 測試集x y = np.array(y_test_std) # 測試集y y_var = np.var(y) # 標準差

（五）特征標準化

# 特征標準化 stdsc = StandardScaler() X_train_std = stdsc.fit_transform(X_train) X_test_std = stdsc.transform(X_test) y_train_std = stdsc.fit_transform(y_train) y_test_std = stdsc.fit_transform(y_test)

（六）初始化θ

theta = np.zeros((14, 1)) # 初始化theta

（七）正規方程

# 正規方程 def nomal(X, Y):theta = np.linalg.inv(X.T.dot(X)).dot(X.T).dot(Y)return theta # 損失函數 def cost_function(x, theta, y):cost = np.sum((np.dot(x, theta)-y)**2)return cost/(2*len(y))# 正規方程 def nomal(X, Y):theta = np.linalg.inv(X.T.dot(X)).dot(X.T).dot(Y)return theta# 梯度下降方向 def gradient(X, theta, Y):return X.T.dot((X.dot(theta)-Y))/len(Y)# 梯度下降 def gradient_descent(X, theta, Y, eta):while True:last_theta = thetagrad = gradient(X, theta, Y)theta = theta - eta*gradif abs(cost_function(X, last_theta, Y) - cost_function(X, theta, Y)) < 1e-18:breakreturn theta# theta = nomal(X, Y) # 閉合形式求解 theta = gradient_descent(X, theta, Y, 0.001) # 梯度下降# 評估項(R2) def evaluation(x, theta, y, y_var):return 1 - ((np.sum((np.dot(x, theta)-y)**2))/(y_var*len(y)))MSE = np.sum(np.power((np.dot(x, theta)-y), 2))/len(y) cost = cost_function(x, theta, y) # 損失函數值 R2 = evaluation(x, theta, y, y_var) # 評估值end = time.time()# print("The normal equations:") print("Gradient descent:") print("theta=") print(theta) print("MSE=", MSE) print("cost=", cost) print("R2=", R2) print('Running time: %s Seconds' % (end-start))

實驗結果：
（一）正規方程求解

（二）梯度下降求解

可以看到兩個方法得出的結果差別不大，用測試集進行測試時候，損失函數值均為0.18，評估項R2均為0.6多，梯度下降的擬合效果會比正規方程的好一點。在運算過程中，能很明顯看到正規方程的計算速度要比梯度下降快很多，原因在于梯度下降在更新θ時候需要迭代很多次才能得到較優解。但是梯度下降在特征數量n較大時也能很好使用，而正規方程需要計算(X*X)-1，如果特征數量太多則運算代價較大因為矩陣的運算時間復雜度為O(n3)，而且只適用于線性模型，不適用于邏輯回歸模型等其他模型。在這個模型里面，由于特征數量不是很多，因此用正規式求解比較合理。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的机器学习 基于加州房价的线性回归实验的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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