文章目錄

• • 文章目的
  • 閱前注意
  • 向量、矩陣、基、極大無關組、Span
  • • 重要前提：
    • 向量
    • 矩陣
    • 矩陣乘法的含義，方程組解與函數的解
    • 向量組與空間、矩陣與方程組
  • 向量、矩陣、變換、線性空間、向量組的相關性，線性方程組的解空間合集（手寫版字很丑，）
  • 坐標變換和基變換
  • • 向量
    • 坐標變換
    • 基變換
  • 特征值和特征向量
  • • 特征向量
    • • 為了求特征向量
      • 特殊變換的特征值與特征向量
    • 關于相似的秩問題

文章目的

考研過程中覺得考研輔導教材絲毫沒有給線代一個直觀的理解， 只是讓你計算， 然而很多題目， 定理， 公式， 如果沒有直觀的理解， 就需要你強行記住定理， 以及現場推導。 這嚴重影響了我做題的速度。

因此在參考B站線性代數的本質的基礎上， 講線代的直觀理解應用到考研范圍的題目上來， 賜你屠龍刀

特征向量之前的向量組是自己興起手推總結的， 一不小心就寫了很多，雖然字很丑。

特征向量是發現效果不錯， 所以打了Markdown版本的

閱前注意

你必須知道向量、矩陣、向量組、基、基礎解析、極大無關組、解方程組、矩陣乘法、坐標變換、基變換， 等線性代數的基本概念

本文第一頁， 總結了向量， 矩陣，基的理解， 這是后面一切推理的基石。如果你不能夠看懂， 推薦你花2-3h觀看視頻線性代數的本質

第二點非常重要， 這是一切直觀理解的必要前提

向量、矩陣、基、極大無關組、Span

重要前提：

我們研究的線性代數， 都有一個默認基，也就是直角坐標系$E$, 以下會稱其為標準基，簡稱標基。

向量符號不會給出箭頭， 大寫字母均代表矩陣 ，小寫字母代表向量， 或者是數乘的時候的實數（或者說一維的矩陣），$[x_1,x_2,...x_n]$這樣描述的時候， 自行理解這是向量$x$的每個分量， 還是一個矩陣$X$的列向量/行向量組

向量

向量在數學上是一組數， 物理上是矢量，計算機里是一個數組，

在幾何空間中可以表示坐標。

考研中，如果和基結合來看， 就是基向量的線性組合, 放到基空間里， 就是基空間里的一個向量， 或者說一個坐標點

注：線性組合就是對應相乘再相加

看下面的等式
$$\begin{gathered} Ax=[a_1,a_2,..,a_n]x=[a_1,a_2,..,a_n][x_1,x_2,...,x_n{]}^T \\ =x_1{a}_1+x_2{a}_2+...+x_n{a}_n=y \end{gathered}$$

一行4個=， 5個表達， 是完全等價的，

矩陣乘向量（變換） = 基空間A的x向量 = [基向量]*的線性組合 = y(標系下的向量、坐標、線性組合)

你理解到什么程度就可以了呢？，你看到下面這個式子能想到上面的任何一個就過關了

$$x_1{a}_1+x_2{a}_2+...+x_n{a}_n$$

這不是相乘相加

這是基向量的線性組合， 是兩個向量內積（一維空間直線上的點）， 或者說高維空間中的一個點。

并且在腦海里能大致想到這個空間， 和點即可

矩陣

矩陣是一組向量，和向量一樣定義的， 分塊后就沒區別， 也叫二維張量

矩陣在考研里有兩個角色。 一是變換，二是向量組

在做矩陣乘法的時候， 矩陣就可以看成變換

$Ax=b這里的A就是變換$

當然也可以看成向量組

$A=[a_1,a_2,..,a_n]$

矩陣乘法的含義，方程組解與函數的解

$Ax=b$

你可以看成時，將x做A變換，變成了b

也可以看成是，A空間中的x就是標空間中的b

如果你把x看成一個變量（實際上是一組變量）的話，不同的x產生不同的Ax（線性組合)， 也就描述了整個A空間的任何一個向量， $Ax=b$就是找到A空間中對應b的那個線性組合

更數學一點，你把x看成是自變量，Ax看成是自變量的函數， 變成了F(X) = b，就是解了

不過我們線代的函數是線性函數（線性變換），自變量，因變量也都是向量或者矩陣。

解當然也是向量， 通解就是整個解空間

向量組與空間、矩陣與方程組

假設$A_{n?m}$

行滿秩，行向量全都線性無關， 從列的角度來看， 就是所有列向量張成了n維空間。

可以保證$Ax=b$有解

列滿秩， 列向量組全都線性無關，列向量是一個極大無關組。假高維，實際只張成了m維空間

不能保證$Ax=b$有解

唯一解就是，b和Ax相同維度， 有唯一表示（直線在平面上）

無解就是， 目標b維度高了， Ax表示不了（直線不在平面上）

無窮解就是Ax維度高， 有一個零空間可以表示b（一族向量，投影到數軸上的同一個點，或者說一族平面， 投影到平面上的一條線）

向量、矩陣、變換、線性空間、向量組的相關性，線性方程組的解空間合集（手寫版字很丑，）

坐標變換和基變換

向量

以前說了向量是一組數， 可以看成是在基下的坐標 ，也基向量的線性組合

坐標變換

注：坐標就是向量，變換就是矩陣乘法

$Ax=y$

$x$對$A$的一個線性組合計算出來的結果就是在標準坐標系中的表述$y$

注：$A$的基（所有列向量)是在標準坐標系下描述的。更寬泛的來說， 任何我們寫的向量和矩陣都是默認在標系下表述的

所以他們的**線性組合** $Ax$ 也是標系的一個向量 $y$

而矩陣乘法$AX=B$不過是

$A[x_1,x_2,...x_n]=[b_1,b_2,...b_n]$

the transformation $A{x}_i=b_i$ be applied by n times

注：我今后將任何標準坐標系下的向量或者矩陣， 都叫做標述， 標準坐標系叫做標系

坐標變換做的事可以從坐標變換和基變換的角度來理解

坐標變換

對$x$施加$A$變換

基變換

在基變換$A$的情況下$x$表示的向量（線性組合）在標系下的表述$y$

注：基可以對于向量來說可以理解成語言， 向量是描述， A語言下x的描述， 在標準語言下是y

比如一個單詞shabby， 你讀起來會誤以為它是shabi的意思， 但是經過A語言翻譯到中文， 這就是破舊的意思。

那反過來， 要把一個標準表述變成基A表述只要做逆變換即可

$$x=A^{?1}y$$

基變換

如何對基$A$下的坐標作一個在標系下表示的變換

maybe above sentence can easily be understood by reading following words “make a vector in basis A be applied a transform that in basis standard”

因為我們默認任何矩陣和向量都是標系下的， 所以你如果不變基的話是不能做到對**基A下的坐標施加同一變換**的。

注：同一變換比如逆時針旋轉90’在不同坐標系下是不一樣的（至少大多數情況下是不一樣的），這也就是相似對角化其實就是為了做這種事。

我截取了視頻中最重要的部分內容描述基變換







這樣基變換的目的就很明顯了

首先我們的矩陣和向量都是在標系下的，因此， 你的變換矩陣transformation is also in standard basis。

而我想要知道的是相同的變換在基A下， 用我們的語言描述（標系下表示）是什么樣的

注：區分變換$C$和$A^{?1}CA$.

實際上， 上述例子的本質是把一個基先變換成標系（直角坐標系）再作變換，再變回原來的基下。這樣比直接找到一個$D=A^{?1}CA$ 更加的容易

注：怎么理解直角坐標系， 相互正交，而一般對角矩陣正是這樣的。

特征值和特征向量

特征向量

首先應該討論特征向量。特征值只是一個副產品而已，因為線代討論的主體是向量而非實數

特征向量是一個矩陣（變換）施加在上面時， 只會改變大小的向量，改變的大小$\lambda$

注：你可以把特征換成伸縮， 伸縮向量， 伸縮值

為了求特征向量

$A\alpha =\lambda \alpha$

$A\alpha =\lambda E\alpha$

$(A?\lambda E)\alpha =0$

變成了解線性方程組， 或者說找零空間

$|A?\lambda E|$會是一個特征多項式，$|A?\lambda E|=0$是一個特征方程

特征方程的根三種情況

• 無根（考研不考慮）

• 單根（該特征值解的零空間至少1維，至多1維）

• k重根（該特征值解的零空間至少1維，之多k維）

對應${\lambda }_i$零空間里的所有向量${\alpha }_{ij}$

$A{\alpha }_{ij}={\lambda }_i{\alpha }_{ij}$

零空間可以用基向量（=基礎解系，=極大線性無關組，后都說成基礎解系）來表述

注：

一個前提：考研大題只討論實對稱陣， 二次型矩陣都能表示實對稱陣， 實對稱陣一定可以相似對角化， 同樣一定可以正交化

一個結論：不同特征值對應的特征向量一定線性無關，也即基礎解系增廣的向量組線性無關。

顯然如果所有的基礎解系得到的向量組有n個線性無關的特征向量的話。

將這個向量組成為$|P|=0,P=[{\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_n]$ 稱之為特征基（伸縮基）

$A{\alpha }_1=\lambda {\alpha }_1=[{\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_n][{\lambda }_1,0,0,...,0{]}^T=P[{\lambda }_1,0,0,...,0{]}^T$

對于P有 $AP = P \Lambda ， $

注：注意時右乘對角陣（Ax）這里的x也是右乘的。

由于P可逆， $A=P\Lambda P^{?1}$

對應的 $P^{-1}AP =\Lambda $

注：下面的考研這樣理解就慢了，

直接記上面的

“P逆AP“

”P lambda P逆“

特征基下的A變換， 就是標基的對角變換

也就是如果你要做標基的$A^n$， 你可以考慮先做$P^{?1}$的基變換，

然后施加${\Lambda }^n$變換, 再$P$回來

特殊變換的特征值與特征向量

B矩陣$A$$kA+bE$$A^n$$A^{?1}$$A^{?}$$B=P^{?1}AP$

特征值	$\lambda$	$k\lambda +b$	${\lambda }^n$	${\lambda }^{?1}$	$	A
特征向量	$\alpha$	$\alpha$	$\alpha$	$\alpha$	$\alpha$	$P^{?1}\alpha$

首先逆把$A=P\Lambda P^{?1}$帶入B中， 根據定義能現場退出來

直觀理解上表

因為特征向量是伸縮向量， 伸縮大小改變不改變向量的方向

k倍的伸縮是不改變特征向量的， 所以線性變換只改變了特征值

你伸縮n次就是n次方倍

你逆著伸縮，就是倒數倍

對于方陣$A^{?}=|A|A^{?1}$

B相似， 特征多項式相同， 特征向量單獨推

關于相似的秩問題

首先你要分清楚， 你研究的矩陣是$A$還是$P$

$|A|=0$只能說存在特征值0，這就可以結合前面$Ax=0$來解決問題了

而$|P|=0$的話說明有k重根的基向量<k，也就是維度不夠， 也就不能對角化

總結

以上是生活随笔為你收集整理的考研线性代数深入理解的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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