考研数学之线性代数知识点
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Chp2：行列式
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多元一次方程組求解
a11 * x1 + a12 * x2 = b1 a21 * x1 + a22 * x2 = b2存在唯一解的前提： 稀疏矩陣 A = [[a11, a12], [a21, a22]]的行列式不為0，否則x的分母為0 即：np.linalg.det(A) ！= 0解為： x1 = np.linalg.det([[b1, a12], [b2, a22]]) / np.linalg.det(A) x2 = np.linalg.det([[a11, b1], [a21, b2]]) / np.linalg.det(A)
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Chp3：線性方程組
- 非齊次線性方程組(右側(cè)的值不全為0)的兩個解之差，是其對應(yīng)的導(dǎo)出組(對應(yīng)的齊次方程組)的解
- 非齊次線性方程組的一個解與其對應(yīng)的導(dǎo)出組的一個解之和，還是該非齊次線性方程組的解
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Chp4：矩陣
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背景
- 坐標變換
- 矩陣與二次曲線
- 大宗商品運輸
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定義、定理
- |AB| = |A| * |B| #矩陣乘積的行列式 = 各個矩陣行列式的乘積
- |A| ！= 0，非退化，否則稱為退化
- 設(shè)矩陣A(ij)是矩陣A中元素a(ij)的代數(shù)余子式，則矩陣A* = [[A11, …, An1], …, [An1, …, Ann]]稱為A的伴隨矩陣，則滿足A * A* = A* * A = d * E, 其中|A| = d
- 矩陣逆的計算：A.I = A* / d = A* / |A|
- 由單位陣 E 經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣，稱為初等矩陣
- 矩陣求逆：對于方陣A，在A后面增加一個同大小的單位陣組成新矩陣，然后對新矩陣進行各種初等變換，直到A變成了單位陣，則右側(cè)原來的單位陣位置的新矩陣即為A的逆
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Chp5：二次型
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二次型定義：設(shè)P是一數(shù)域，一個系數(shù)在數(shù)域P中的x1,…,xn的二次齊次多項式
f(x1, .., xn) = a11 * x1^2 + 2 * a12 * x1 * x2 + .. + 2 * a1n * x1 * xn + a22 * x2^2 + .. + ann * xn^2 = a11 * x1^2 + a12 * x1 * x2 + .. + a1n * x1 * xn+ a21 * x2 * x1 + a22 * x2^2 + .. + a2n * x2 * xn+ ..+ an1 * xn * x1 + an2 * xn * x2 + .. + ann * xn^2系數(shù)矩陣 A = [[a11, a12, .., a1n], [a21, a22, .., a2n], .. [an1, an2, .., ann]] 因為aij = aji，故 A = A.T稱 f(x1, .., xn) 為 二次齊次多項式， 系數(shù)陣 A 為二次型矩陣，二次型矩陣是對稱的設(shè) X = [x1, x2, .., xn] 則 f(x1, .., xn) = X * A * X.T -
合同的定義：數(shù)域P上的n * n方陣A、B是合同，如果有數(shù)域P上的可逆n * n方陣c， st: B = C.T * A * C
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合同的性質(zhì)：
- 反身性： A = E.T * A * E
- 對稱性： B = C.T * A * C ==> A = C.I.T * B * C.I
- 傳遞性： A1 = C1.T * A * C1, A2 = C2.T * A1 * C2 ==> A2 = C2.T * C1.T * A * C1 * C2 ==> A2 = (C1 * C2).T * A * C1 * C2
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標準型：系數(shù)矩陣為對角陣
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定義：
- 實二次型f(x1, x2, …, xn)稱為正定的，如果對于任意一組不全為零的實數(shù)(c1, c2, …, cn)，都有 f(c1, c2, …, cn) > 0
- 實對稱陣A稱為正定的，如果二次型 X.T * A * X 正定
- 實對稱陣是正定的當且僅當它與單位陣合同
- (推論)正定矩陣行列式 > 0
- 子式 Pi = [[a11, a12, …, a1i], …, [ai1, ai2, …, aii]]稱為矩陣 A = (aij)nn的順序主子式
- 設(shè) f(x1, x2, …, xn) 是一個實二次型，對于任意一組不全為零的實數(shù)ci,如有f(c1, c2, …, cn) < 0，則負定，>=0，半正定，無法判斷與0的關(guān)系，則不定
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定理
- 數(shù)域P上任一個對稱陣，都合同于一個對角陣
- 實二次型 f(x1, x2, …, xn) = X.T * A * X 是正定的充要條件：矩陣A的順序主子式全部 > 0
- 對于實二次型 f(x1, x2, …, xn) = X.T * A * X，其中A是實對稱的，則下列條件等價
- f(x1, x2, …, xn)半正定
- 正慣性指數(shù)與秩相等
- 存在逆實矩陣 C，st C.T * A * C = di的對角陣，其中di >= 0
- 有實矩陣 C，st A = C.T * C # 實對稱陣與單位陣合同
- A的所有主子式均 >= 0 # 僅有順序主子式 >= 0 不能保證半正定(y = -x2^2)
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Chp6：線性空間
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定義和推論
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直和：設(shè)V1, V2是線性空間V的子空間，如果和V1 + V2中每個向量a的分解式：a = a1 + a2 （a1 屬于 V1， a2 屬于 V2）是唯一的，這個和就是直和
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(推論)和V1 + V2為直和的充要條件：V1 & V2 = {0}
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數(shù)域P上兩個線性空間V與V.T稱為同構(gòu)的，若由V到V.T有一個雙射sigma，具有如下性質(zhì)
- sigma(alpha + beta) = sigma(alpha) + sigma(beta)
- sigma(k * alpha) = k * sigma(alpha)
其中 alpha 和 beta 是 V 中任意向量，k是P中任意數(shù)，這樣的映射sigma稱為同構(gòu)映射
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Chp7：線性變換
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定義和推論
- 設(shè)A,B為數(shù)域P上的兩個n級矩陣，如果可以找到數(shù)據(jù)P上的n級可逆矩陣X，st B = X.T * A * X，則A相似于B，記作 A ~ B
- 反身性：A ~ A
- 對稱性：A ~ B ==> B ~ A
- 傳遞性：A ~ B, B ~ C ==> A ~ C
- 設(shè)A是線性空間V的一個線性變換，A的全體像組成的集合，稱為A的值域，所有被A變成零向量的向量組成的集合，稱為A的核
- 形式為J(lamda, t) = [[lmda, 0, …, 0], [1, lamda, 0, …, 0], …, [0, …, 0, 1, lamda, 0], [0, …, 0, 1, lamda]] 的矩陣稱為若爾當(Jordan)塊，其中l(wèi)amda為復(fù)數(shù)，有若干Jordan塊組成的準對角陣，稱為Jordan形矩陣
- 根據(jù)哈密頓-凱萊定理，數(shù)域P上一個n級方陣A，總可以找到數(shù)域P上的一個多項式f(x)，st f(A) = 0，稱為A是f(x)的根，其中次數(shù)最低，首項系數(shù)為1的以A為根的多項式，稱為A的最小多項式
- 設(shè)A,B為數(shù)域P上的兩個n級矩陣，如果可以找到數(shù)據(jù)P上的n級可逆矩陣X，st B = X.T * A * X，則A相似于B，記作 A ~ B
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定理
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定理6：相似的矩陣有相同的特征多項式
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哈密頓-凱萊定理：設(shè)A是數(shù)域P上的n級方陣，f(lamda) = |lamda * E - A|是A的特征多項式，則：
f(A) = A^n - (a11 + a22 + … + ann) * A^(n - 1) + … + (-1)^n * |A| * E = 0
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定理13：設(shè)A是復(fù)數(shù)域上線性空間V的一個線性變換，則V中必定存在一組基，st A在這組基下的矩陣為Jordan形矩陣，則成A為Jordan標準型
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定理15：數(shù)域P上n級矩陣A與對角陣相似的充要條件：A的最小多項式是P上互質(zhì)的一次因子乘積
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特征值與特征向量的計算
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Chp8：lamda-矩陣
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定義
- lamda-矩陣A(lamda)稱為與B(lamda)等價，如果可以經(jīng)過一系列初等變換將A(lamda)化為B(lamda)
- 反身性
- 對稱性
- 傳遞性
- 矩陣A(或線性變換)的每個次數(shù)大于零的不變因子分解成互不相同的首項為1的一次因式方冪的乘積，所有這些一次因式方冪(相同的按出現(xiàn)的次數(shù)計算)稱為矩陣A(或線性變換)的初等因子
- 例如：設(shè)12級矩陣的不變因子是10個1,(lamda - 1)^2, (lamda + 1) * (lamda - 1)^2，按定義：它的初等因子有3個：(lamda - 1)^2， (lamda - 1)^2， lamda + 1
- lamda-矩陣A(lamda)稱為與B(lamda)等價，如果可以經(jīng)過一系列初等變換將A(lamda)化為B(lamda)
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定理/推論
- 定理6：矩陣A(lamda)是可逆的充要條件：它可以表示成一些初等矩陣(通過初等變換可以得到單位陣的矩陣)的乘積
- 推論：連個s * n的lamda-矩陣A(lamda)與B(lamda)等價的充要條件：有一個s * s可逆矩陣P(lamda)與一個n * n可逆矩陣Q(lamda)，st B = P * A * Q
- 引理1：若由 n * n數(shù)字矩陣P和Q，st lamda * E - A = P * (lamda * E - B) * Q，則A與B相似
- 定理7：設(shè)A,B是數(shù)域P上兩個 n * n 矩陣, A與B相似的充要條件：它們的特征矩陣lamda * E - A 與 lamda * E - B等價
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Chp8：歐幾里得空間
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向量a, b的夾角 theta 余弦：cosin(theta) = (a, b) / (|a| * |b|)
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柯西-布捏可夫斯基不等式：|(a, b)| <= |a| * |b|，當且僅當 a, b線性相關(guān)時等號才成立
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定義
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正交矩陣：n級實數(shù)矩陣A稱為正交矩陣，如果 A.T * A = E (A.I = A.T)
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同構(gòu)：實數(shù)域R上歐式空間V與V.T稱為同構(gòu)的，若由V到V.T有一個雙射sigma滿足
- sigma(a + b) = sigma(a) + sigma(b)
- sigma(k * a) = k * sigma(a)
- (sigma(a), sigma(b)) = (a, b)
- 說明：a, b屬于V， k屬于R，這樣的映射sigma稱為V到V.T的同構(gòu)映射
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正交變換：歐式空間V的線性變換A稱為正交變換，若它保持向量的內(nèi)積不變(保持點之間的距離不變)，即對任意的a, b屬于V，都有 <A(a), A(b)> = <a, b>
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向量與子空間正交：設(shè)V1， V2是歐式空間V中兩個子空間，
- 若對于任意的 a 屬于 V1，b屬于V2，恒有 <a, b> = 0，則稱V1 和V2正交，記為V1垂直V2
- 若有一個向量a，對于任意的b屬于V1，恒有 <a, b> = 0，則稱向量a 和子空間V1正交，記為a垂直V1
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正交補：子空間V2稱為子空間V1的一個正交補，若V1垂直V2，并且V1 + V2 = V
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酉空間：設(shè)V是復(fù)數(shù)域上的線性空間，在V上定義了一個二元復(fù)函數(shù)，稱為內(nèi)積，記作(a, b)，具有以下性質(zhì)：
- (a, b) = (a, b)的共軛復(fù)數(shù)
- (k * a, b) = k * (a, b)
- (a + b, r) = (a, r) + (b, r)
- (a, a)是非負實數(shù)，且(a, a) = 0當且僅當a=0
這里a, b, r是V中任意的向量，k為任意復(fù)數(shù)，這樣的線性空間稱為酉空間
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定理
- 定理3：兩個有限維歐式空間同構(gòu)的充要條件：他們的維數(shù)相同
- 定理4：設(shè)A是n維線性空間V的一個線性變換，下面四個命題是相互等價的
- A是正交變換
- A保持向量的長度不變，即對于a 屬于 V，|A(a)| = |a|
- 若e1, e2, …, en是標準正交基，那么A(e1), A(e2), …, A(en)也是標準正交基
- A在任意一組標準正交基下的矩陣是正交矩陣
- 定理5：若子空間Vi兩兩正交，那么和sum(Vi)是直和(chp6定義)
- 引理1：設(shè)A是實對稱矩陣，則A的特征值皆為實數(shù)
- 引理2：設(shè)M是實對稱矩陣，A是實數(shù)域正交變換，則對任意a, b屬于屬于R^n，有(或)
- <A(a), b> = <a, A(b)> ==> 對稱變換
- b.T * (M * a) = a.T * M * b
- 引理3：設(shè)A是對稱變換，V1是A一個子空間，則垂直于V1的也是A子空間
- 引理4：設(shè)A是實對稱矩陣，則R^n中屬于A的不同特征值對應(yīng)的特征向量比正交
- 定理7：對于任意一個n級實對稱矩陣A，都存在一個n級正交矩陣B，st B.T * A * B = B.I * A * B 成對角形
- 應(yīng)用：求解n級實對稱矩陣A的n級正交矩陣B，以及對角陣
- np.linalg.eig求出矩陣A的特征值
- 將特征值帶入矩陣 lamda * E - A，求出基礎(chǔ)解系，并對基礎(chǔ)解系進行標準正交化
- 標準正交化后的基礎(chǔ)解系構(gòu)成的矩陣為矩陣B
- B.T * A * B為對角陣
- 應(yīng)用：求解n級實對稱矩陣A的n級正交矩陣B，以及對角陣
- 定理8：任意一個實二次型 sum(aij * xi * xj)，其中aij = aji，都可以經(jīng)過正交的線性替換變成平方和: sum(lamdai * yi^2)，其中平方和的系數(shù)lamdai就是矩陣A(aij)的特征多項式全部的根
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描述
- 正交矩陣A，A.T * A = E ==> |A| = 1/-1
- |A| = 1: 旋轉(zhuǎn)，第一類的
- |A| = -1: 第二類的，幾何上看：鏡面反射
- 酉空間性質(zhì)
- (a, k * b) = k- * (a , b)，其中k-為k的共軛復(fù)數(shù)
- A-.T * A = A * A-.T = E，稱A為酉矩陣，其中A-為A的元素的共軛復(fù)數(shù)作為元素的矩陣
- 酉空間V的線性變換A滿足：(A(a), A(b)) = (a, b)，稱A為V的一個酉變換
- 若矩陣A滿足 A-.T = A，則稱A為埃爾米特矩陣
- V是酉空間，V1是子空間，V2是V1的正交補，則V = v1 直和 V2
- 埃爾米特矩陣的特征值為實數(shù)，它的屬于不同特征值的特征向量比正交
- 若A是埃爾米特矩陣，則有酉矩陣C，st C.I * A * C = C-.T * A * C 是對角陣
- 設(shè)A為埃爾米特矩陣，二次齊次函數(shù)f(xi) = sum(aij * xi * xj-) = X.T * A * X- 叫做 埃爾米特二次型，必有酉矩陣C，當 X = C * Y 時 f(xi) = sum(di * yi * yi-)
- 正交矩陣A，A.T * A = E ==> |A| = 1/-1
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Chp9：雙線性函數(shù)與辛空間
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定義
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線性函數(shù)：設(shè)V是數(shù)域P上的一個線性空間，f是V到P的一個映射，若f滿足
- f(a + b) = f(a) + f(b)
- f(k * a) = k * f(a)
式中 a, b 是V中任意元素，k是P中任意數(shù)，則稱f為V上的一個線性函數(shù)
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描述
- 線性函數(shù)性質(zhì)
- 設(shè)f是V上的線性函數(shù)，則f(0) = 0, f(-a) = -f(a)
- 若 b 是 a1,a2, …, an的線性組合，即b = sum(ki * ai)，那么f(b) = sum(ki * f(ai))
- 線性函數(shù)性質(zhì)
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總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的考研数学之线性代数知识点的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
