行列式：

• • 線性代數(shù)考研筆記（一）：行列式
  • • • • 行列式相關概念：
        • 行列式的運算性質(zhì)：
        • 特殊行列式：

線性代數(shù)考研筆記（一）：行列式

• 行列式相關概念：

  • k階子式：對于矩陣A，任取k行和k列，將位于這些行和列的交點上的元素按照原來的次序組成的k階方陣的行列式，叫做A的一個k階子式；
  • k階余子式：對于n階行列式$D$，把某k階子式劃去之后，所留下來的n-k階行列式$D^{\prime }$叫$D$的一個k階余子式；
  • k階代數(shù)余子式：對于劃去第$i_1,i_2,..,i_k$行和第$j_1,j_2,..,j_k$列的元素的k階余子式$D^{\prime }$，稱$M=(?1{)}^{\sum i+\sum j}{D}^{\prime }$為$D^{\prime }$對應的k階代數(shù)余子式；

• 行列式的運算性質(zhì)：

  • 行列式運算原理：$D=\Sigma (?1{)}^k{a}_{1k_1}{a}_{2k_2}...a_{n{k}_n}$

    其中，ki是行列式的列序號的某一種排列，k是其對應的逆序數(shù)，若行序號同樣取任意排列，則k為兩個排列的逆序數(shù)之和；

    由表達式可知，行列式的某一個加數(shù)一定是取自不同行且不同列的元相乘得到的，這種本質(zhì)規(guī)則在很多時候能簡化行列式的運算；

  • 初等變換：

    • 交換變換：對換兩行/列，行列式變號 $?$ 若行列式某兩行/列相等，則為零；
    • 數(shù)乘變換：若行列式某行/列有公因數(shù)k，則可以將k提到行列式外部 $?$ 若行列式數(shù)乘k，則相當于行列式中某一行/列乘以k，而不是全部元素；
    • 消法變換：行列式不變 $?$ 若行列式兩行/列成比例，則行列式為零；

  • 行列式的加法拆分：
    如果行列式的某一行/列的每個元素都可以拆成兩個數(shù)之和，則該行列式可以拆成兩個行列式之和;

    其中這兩個行列式的某行以原行列式對應元素拆成的兩個數(shù)分別組成；

  • 拉普拉斯展開定理：

    • 在n階行列式$D=|a_{ij}|$中任取k行（k列），則由這k行（k列）元素組成的所有k階子式與它們的代數(shù)余子式的乘積之和等于$|D|$；

    • 當$k=1$時，行列式$D$的任一行（任一列）元素與其對應代數(shù)余子式乘積之和為$|D|$，與另一行（另一列）的代數(shù)余子式乘積之和為0，即：
      $$\begin{gathered} \sum _{k=1}^n{a}_{ik}{M}_{jk}=\{\begin{array}{ll}|D|,& j=i\\ 0,& j=i\end{array} \\ \sum _{k=1}^n{a}_{ki}{M}_{kj}=\{\begin{array}{ll}|D|,& j=i\\ 0,& j=i\end{array} \end{gathered}$$

    • 兩個特殊的拉普拉斯展開式：設$A,B$分別為$m,n$階矩陣，則：
      $$\begin{gathered} \left|\begin{array}{cc}A& ?\\ O& B\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}A& O\\ ?& B\end{array}\right|=|A||B| \\ \left|\begin{array}{cc}O& A\\ B& ?\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}?& A\\ B& O\end{array}\right|=(?1{)}^{mn}|A||B| \end{gathered}$$

  • 比內(nèi)特-柯西公式：

    設$A,B$分別是$n\times s,s\times n$矩陣，則：
    $$det(AB)=?\begin{array}{ll}0,& n>s\\ det(A)\times det(B),& n=s\\ \sum _{k_1,k_2,..,k_n}detA(12..n;k_1{k}_2..k_n)\times detB(k_1{k}_2..k_n;12..n),& n<s\end{array}$$

  • 常用運算公式：

    • $|D|=|D^T|$；
    • $|kD|=k^n|D|$；
    • $|AB|=|A||B|$；
    • $|A^n|=|A{|}^n,n\in N或n=?1$；
    • $|A^{?}|=|A{|}^{n?1}$；
    • $|A|=\prod {\lambda }_i$，其中${\lambda }_i$是$A$的第i個特征根；

• 特殊行列式：

  • 主對角線的上、下三角行列式：
    $$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& ..& a_{1n}\\ 0& a_{22}& ..& a_{2n}\\ ..& ..& ..& ..\\ 0& 0& ..& a_{nn}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& 0& ..& 0\\ a_{21}& a_{22}& ..& 0\\ ..& ..& ..& ..\\ a_{n1}& a_{n2}& ..& a_{nn}\end{array}\right|=\prod a_{ii}$$

  • 副對角線的上、下三角行列式：
    $$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& ..& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& ..& 0\\ ..& ..& ..& ..\\ a_{n1}& 0& ..& 0\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}0& 0& ..& a_{1n}\\ 0& a_{22}& ..& a_{2n}\\ ..& ..& ..& ..\\ a_{n1}& a_{n2}& ..& a_{nn}\end{array}\right|=(?1{)}^{\frac{n(n?1)}{2}}\prod a_{i(n?i)}$$

  • 范德蒙德行列式：
    $$\left|\begin{array}{cccc}1& 1& ..& 1\\ x_1& x_2& ..& x_n\\ x_1^2& x_2^2& ..& x_n^2\\ ..& ..& ..& ..\\ x_1^{n?1}& x_2^{n?1}& ..& x_n^{n?1}\end{array}\right|=\prod _{1\le j<i\le n}(x_i?x_j)$$

  • 三對角行列式：
    $$\begin{gathered} D_n=\left|\begin{array}{cccccc}b& a& 0& ..& 0& 0\\ c& b& a& ..& 0& 0\\ 0& c& b& ..& 0& 0\\ ..& ..& ..& ..& ..& ..\\ 0& 0& 0& ..& b& a\\ 0& 0& 0& ..& c& b\end{array}\right|=b{D}_{n?1}?c{D}_{n?2} \\ {D}_1=\left|\begin{array}{c}b\end{array}\right|=b,D_2=\left|\begin{array}{cc}b& a\\ c& b\end{array}\right|=b^2?ac \end{gathered}$$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的线性代数考研笔记（一）的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。