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编程问答

线性代数复习总结——基本概念

發布時間：2023/12/8 编程问答 43 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了线性代数复习总结——基本概念小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

參考資料：
線性代數知識匯總
特別感謝上述博客的分享，在本文中會截取其中部分截圖。如有侵權，請聯系刪除。

矩陣與矩陣相乘：滿足結合率和分配律，但不滿足交換律，即 $\neq BA;$
數乘矩陣
轉置矩陣：
① $A+B)^T=A^T+B^T$
② $AB)^T=B^TA^T$
③ $(λA)T=λAT(\lambda A)^T=\lambda A^T$
③如果滿足 $A=A^T$ ，則A稱為對稱矩陣。
矩陣的行列式：
① $∣ A B ∣ = ∣ A ∣ ∣ B ∣$
② $∣λA∣=λnA|\lambda A|=\lambda^n A$
伴隨矩陣：行列式|A|各個元素的代數余子式構成的矩陣。
① $A^*A=AA^*=|A|E$
可逆矩陣（非奇異矩陣）
①若 $\neq 0$ ，則 $A?1=1∣A∣A?A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*$
推論：若 $\neq 0$ ，則 $∣A?1∣=1∣A∣|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}$
推論：若 $\neq 0$ ，則 $A^*=||A|A^{-1}|=|A|^{n-1};$
②若方陣A可逆，則 $\neq 0;$
③ $AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$
④ $(λA)T=1λAT(\lambda A)^T=\frac{1}{\lambda} A^T$

K階子式：在矩陣A中任取k行k列，獲得位于行列交叉處的 $k^2$ 個元素。在不改變它們的位置次序得到的k階行列式。
① $\times n$ 矩陣A的k階子式有 $C_m^k C_n^k$ 個。
秩：假設矩陣A有一個不為零的r階子式D，而A的所有r+1階子式全為0.稱數r為矩陣A的秩。
①矩陣A的秩是A中非零子式的最高階數。
② $R(A)=R(A^T)$
③若矩陣A, B等價，則 $R (A) = R (B)$
滿秩矩陣：當 $\neq 0$ 時， $R (A) = n$ 。A為可逆矩陣，也是滿秩矩陣。

對于n元線性方程組 $A x = b$ ：

設有向量組A，如果在A中能選出r個向量，滿足：
①向量組A0： $a1,a2,?,ara_1,a_2,\cdots,a_r$ 線性無關。
②向量組A中任意r+1個向量都線性相關。

線性方程組的解的結構，就是當線性方程組有無限多個解時，解與解之間的相互關系。

封閉：集合中任意兩個元素做某一運算得到的結果仍屬于該集合。
向量空間：非空集合V對加法和減法兩種運算封閉。
子空間：非空子集合V1對加法和減法兩種運算封閉。
向量空間的基：有向量空間V，從V中選出r個向量滿足：
①r個向量線性無關。
②V中任意一個向量能有這r個向量表示。
則r是向量空間V的維數，并且V為r維向量空間。

（1）基本概念

向量的正交性：當[x,y]等于0時，向量x和y正交。
① $θ=arccos?[x,y]∣x∣∣y∣\theta = \arccos \frac{[x,y]}{|x||y|}$
②若x=0，則x與任何向量都正交。
正交向量組：兩兩正交的非零向量組成的向量組。
①組成正交向量組的向量線性無關。
規范正交基

特征值與特征向量：如果A是n階矩陣，數 $λ\lambda$ 和n維非零向量x滿足： $Ax=λxAx=\lambda x$ ，則 $λ\lambda$ 是A的特征值，x是A的特征向量。
特征方程： $∣A?λE∣=0;|A-\lambda E|=0;$
特征多項式： $∣A?λE∣;|A-\lambda E|;$
性質：設A的特征值為 $λ1,?,λn\lambda_1,\cdots,\lambda_n$ ，則
① $λ1+?+λn=a11+?+ann;\lambda_1+\cdots+\lambda_n=a_{11}+\cdots+a_{nn};$
② $λ1?λn=∣A∣;\lambda_1\cdots\lambda_n=|A|;$

二次型：
二次型的矩陣
二次型f的秩：二次型的矩陣A的秩。
合同矩陣：矩陣A和B合同，當有可逆矩陣C滿足 $C^TAC=B$ .
①二次型f的矩陣由A變為與A合同的矩陣，且秩不變。
② $R (A) = R (B)$

以上是生活随笔為你收集整理的线性代数复习总结——基本概念的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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