【線性代數的幾何意義】（一.一）——“線性”、“代數”的意義

何為“代數”

“代數”一詞的英文是Algebra，源于阿拉伯語，其本意是“結合在一起”。就是說代數的功能就是把許多看似不相關的事物“結合在一起”，也就是進行抽象。抽象的目的不是故弄玄虛，而是為了更好的解決問題，提高效率，把許多看似不相關的問題歸為一類問題。

1.從代數式說起

在我們的求學生涯中，最早出現的代數式是在初中階段，依稀記得什么系數、常數項、單項式、多項式等名詞，其定義為：由數和表示數的字母經有限次加、減、乘、除、乘方和開方等代數運算所得的式子，或含有字母的數學表達式稱為代數式。簡單來說就是我們可以使用字母代表任意的數字進行運算，也可以使用字母之間的運算規則來表示一些有規律的運算，比如完全平方公式和平方差公式：

(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2

其后又出現了各種方程以及方程的根的代數表達式：

ax+b=0 其根為x=-b/a
ax2+bx+c=0 其根為x=[-b±(b²-4ac)^1/2]/(2a)
……

其實初中所學的代數式就是將來我們用到的代數。

2.再看“代數”

再看x²+1=0的根是什么？
在幾百年的數學史進化過程中，抽象出了虛數，那么虛數的意義又是什么呢？后面的章節將會詳細介紹。
與此同時，數學也在持續不斷的進化：
三元方程的根被解出來了；
四元方程的根也被解出來了；
那么五元方程的根如何表示呢？這便涉及到群的偉大概念。

由此現代數學的核心概念群，環，域，映射，線性空間等紛紛現世，標志著代數從局部性研究轉向系統結構的整體性分析研究階段。

講完了代數，線性問題又是什么樣的問題呢？

何為“線性”

線性代數李的線性主要意思就是線性空間中的線性變換，而線性變換或是線性映射是把中學的線性函數概念進行重定義，強調了函數變量之間的變換意義。

1.線性函數

我們所接觸的線性函數的概念最早來自初中本一個叫做函數的單元，其中講解了正比例函數、反比例函數、二次函數等概念以及應用，而正比例函數就是一次函數的一部分，一次函數又叫線性函數，因為它的函數圖像是一條直線。而二次函數也叫拋物線函數，因為它的函數圖像是拋物線。
至此，詳細介紹線性函數,根據上述說明：

f(x)=kx+b（k，b為常數）

就是一個線性函數，如果b=0，那么函數圖像就是一條過原點的直線，如下圖中的m所示。
上述所說的是線性函數的幾何意義，那么線性函數的代數意義又是什么呢？
要滿足代數意義的“線性”就必須滿足兩個條件：

(1)可加性：如果函數f(x)是線性的，那么有：
f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)
即和的函數等于函數的和，在物理上也常說因變量疊加后的作用結果等于各個因變量獨自作用結果的疊加。

(2)比例性：也叫作齊次性、數乘性或均勻性，有：
f(kx)=kf(x) k為常數
即比例的函數等于函數的比例，物理上常數因變量縮放，因變量的作用結果也同比例縮放。

驗證上述所說的f(x)=ax+b是否為線性函數：

可加性：
f(x1)=kx1+b;
f(x2)=kx2+b;
f(x1+x2)=k(x1+x2)+b;
f(x1)+f(x2)=k(x1+x2)+2b;
顯然：如果b!=0,f(x1+x2)!=f(x1)+f(x2);

比例性：
f(kx)=akx+b；
kf(x)=akx+kb;
顯然：如果b!=0,f(kx)!=kf(x)

大家也可以用同樣的方法嘗試驗證其他函數是否為線性函數!

可加性和比例性結合在一起就是“線性”的全部意義，有

f(k1x1+k2x2)=k1f(x1)+k2f(x2)
k1、k2為常數

以上內容引用自《線性代數的幾何意義》！

總結

以上是生活随笔為你收集整理的线性代数的几何意义（一）——线性代数的意义的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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