關鍵字：基函數，控制點，節點

參考：http://www.docin.com/p-1511846558.html?

前言：之前寫寫過一篇B樣條曲線，這篇是原文的深度擴展，是針對B樣條曲線的一種特殊情況，三次B樣條，討論了其插值和誤差分析，添加了一些個人總結。

思路：根據已知的型值點（就是給出的已知的數據點），采用均勻參數法構造節點矢量，得到基函數的表達形式，然后利用逼近思想構造三對角陣，利用追趕法求控制點，最后擬合。

一、目的和思想

由已知的觀測點，為物理量（未知量）建立一個簡單的，連續的解析模型，根據該模型推測在非觀測點的特性。

B樣條相比于分段線性插值，在節點處可導，具有光滑性，這是它的優點。

構造思想在于通過給定的型值點反求出控制點，從而擬合曲線，可以通過更改控制點改變曲線形狀。

實際B樣條計算的兩種情況：第一種就是本文的構造思想（上一行）。第二種是直接給出控制點。

二、定義

2.1 B樣條

控制點為Pi(i=0,1,2,....,n)，p次B樣條曲線方程為

是p次B樣條基函數，為節點矢量。

節點矢量的選取方法為：均勻參數法，積累弦長法，向心參數法（這里選擇均勻參數法）

?

注意這里的u是一個點，可能位于的一個數，而不是像的一個向量。

為了將曲線的首末端點分別與首末數據點對應，需要將首末端點都做p+1重，即

即

注意對于p次樣條，有

三、3次B樣條基的計算

根據第二條性質，時，

p=3時，

其中每一項分別如下：

四、3次B樣條控制點的計算

假設給定一組型值點和節點矢量，首末是四重，即，首末分別與和對應。如下圖所示，那么內部節點與對應。即與對應，與對應，則r-0+1=m-3-3+1，r=m-6。所以如前文所述，這里控制節點的個數為n+1，因為m=n+p+1，所以m=n+4，那么r=n-2。

那么B樣條曲線的方程為

為了求控制點Pi，采用非節點條件，將首末型值點分別對應于參數和，使得所取得的參數分別接近于，有

即

其中

化成三對角矩陣，用追趕法求解

五、B樣條曲線誤差分析

對于每個小區間上的點u，可以表示為

B樣條曲線上一點為，注意這里的P的是二維的，第二個下標表示是第一維度的還是第二維度的。那么

繼續化簡，

如果分段線性插值上的點為，那么

令

那么

在每一個區間上，3次B樣條曲線與折線段都會有一個或者兩個功高，功高可以衡量誤差的大小

令

那么

根為

B樣條曲線與折線段出現一個功高，出現兩個功高，曲線與折線段有交點，交點參數為曲線上點的斜率與原型點連線斜率相等時功高最大，可以用牛頓切線法找到功高最大點處，計算功高大小，判斷插值好壞。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的三次B样条插值和误差分析的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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