數字三角形（進階版）

問題描述
　　（圖３.１－１）示出了一個數字三角形。 請編一個程序計算從頂至底的某處的一條路
　　徑，使該路徑所經過的數字的總和最大。
　　●每一步可沿左斜線向下或右斜線向下走；
　　●1＜三角形行數≤100；
　　●三角形中的數字為整數0，1，…99；

文件中首先讀到的是三角形的行數。
接下來描述整個三角形
輸出格式：
最大總和（整數）
樣例輸入
5
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5
樣例輸出
30
1、首先我們考慮能否使用搜索去做，因為每一步可沿左斜線向下或右斜線向下走，也就是說我們到達了一個位置（i，j)，接著可以到達（i+1，j)或者（i+1，j+1)；那么根據這個規律，就可以進行遞歸搜索，代碼如下：

#include <cstdio> #include <iostream> #include <cstring> #include <string> #include <algorithm> #include <math.h> using namespace std; int val[101][101]; int n,ans,cnt;//ans位搜索的最大值，cnt為當前最大值 void dfs(int i,int j)//從（i，j)開始向下搜索 {if(i==n+1)//最后一行，終止條件{if(cnt>ans){ans=cnt;}return;}cnt+=val[i][j];//加上當前位置的數值dfs(i+1,j);dfs(i+1,j+1);cnt-=val[i][j]; } int main() {cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=i;j++){cin>>val[i][j];}} dfs(1,1);cout<<ans;return 0; }

復雜度很明顯是2的n次方，時間很容易超限
原因分析如下：
當我們要計算（i,j)這個位置時，這個位置是由（i-1,j)轉移過來的，我們已經求出了所有的（i.j)下面的位置，我們向上返回到（i-1,j)這個位置，我們向下就到達了（i，j+1）。我們發現（i,j)可以到達（i+1,j+1)并且（i,j+1)也可以到達（i+1,j+1)。那么（i+1,j+1)這個點我們就計算了兩次，會導致大量的重復計算，效率低下，導致時間超限。因此我們考慮，如果有一個數組用過來保存（i,j)能夠得到的最大值，那這樣我們就不用重復計算，那么就是把整個數組遍歷一遍，時間復雜度就是等差數組(n+1)*n/2,這樣時間復雜度就大大降低了。我們把這個方法叫做記憶化，這樣整個方法就叫做記憶化搜索。

#include <cstdio> #include <iostream> #include <cstring> #include <string> #include <algorithm> #include <math.h> using namespace std; int val[101][101]; int f[101][101]; int n,ans,cnt; int dfs(int i,int j) {if(f[i][j]!=-1) {return f[i][j];}if(i==n+1){return f[i][j]=val[i][j];}return f[i][j]=max(dfs(i+1,j+1),dfs(i+1,j))+val[i][j]; } int main() {memset(f,-1,sizeof(f));//初始化數組f cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=i;j++){cin>>val[i][j];}}cout<<dfs(1,1);return 0; }

接著優化，因為遞推要比遞歸快得多，因此平時我們要盡量將遞歸改造為遞推，我們之前f[i][j]表示的是從（i,j）出發能夠得到的最大的值，現在改造一下，將f[i][j]表示為從（1,1)出發到（i,j)能夠得到的最大的值。而這樣就能使用遞推，因為f[i][j] 可以由f[i-1][j-1] 和f[i-1][j]得到，而這就是一個遞推式，因此當我們計算（i,j）的時候只要保證(i-1,j-1)和（i-1,j)已經計算并且保存就行。而這種形式我們采用的是從上到下的順推形式。代碼如下：

#include <cstdio> #include <iostream> #include <cstring> #include <string> #include <algorithm> #include <math.h> using namespace std; int val[101][101]; int f[101][101]; int n,ans; int main() {memset(f,0,sizeof(f));//初始化數組f cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=i;j++){cin>>val[i][j];}} for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=i;j++){if(j==1){f[i][j]=val[i][j]+f[i-1][j];}else if(j==n){f[i][j]=val[i][j]+f[i-1][j-1];}else f[i][j]=max(f[i-1][j-1],f[i-1][j])+val[i][j];}}for(int i=1;i<=n;i++){ans=max(ans,f[n][i]);}cout<<ans;return 0;}

接著我們繼續優化如果我們從上到下求最大值，轉化為從最后一排出發到達最后一層的最大值，那么對于（i,j)來說，可以從（i+1,j+1) (i+1,j)得到，那么我們就可以將整個遞推倒過來寫，省區最后的一個for循環

#include <cstdio> #include <iostream> #include <cstring> #include <string> #include <algorithm> #include <math.h> using namespace std; int val[101][101]; int f[101][101]; int n; int main() {memset(f,0,sizeof(f));cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=i;j++){cin>>val[i][j];}} for(int i=n;i>=1;i--){for(int j=1;j<=i;j++){f[i][j]=max(f[i+1][j+1],f[i+1][j])+val[i][j];}}cout<<f[1][1];return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的蓝桥杯数字三角形的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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