文章目錄

• 一、背景
• 二、基本概念
• • 1. 點（Vertex)
  • 2. 點的順序（Vertex order)
  • 3. 邊 （Edge)
  • • 3.1 左側邊和右側邊（Left-hand Edge and Right-hand Edge)
    • 3.2 左側界和右側界 (Left Bounds and Right Bounds)
  • 4. 局部最小多邊形（Local mininum)
  • 5. 局部最小多邊形集（Local Mininum List: LML)
  • 6. 掃描線（Scan Line)
  • 7. 活躍邊（Active edge）
  • • 1. 對Active edge進行排序
• 三、算法介紹
• • 1. 生成圖形的LML
  • 2. 初始化SBL
  • 3. 生成Scan Line
  • 4. 找到Active Edges
  • 5. 處理active edges

一、背景

Vatti clipping 算法是很多幾何圖形庫的底層實現原理, 比如clipper2就是基于Vatti clipping算法來實現的,本文介紹Vatti clipping算法中的基本概念以及其算法原理。

二、基本概念

下面是Vatti clipping算法中的基本概念：

1. 點（Vertex)

由于double在計算機中表示的精度問題，一般的幾何圖形庫支持的基本數據類型都是整型數值類型（clipper2中雖然帶有支持double類型的接口，其實現也是接收用戶輸入的double類型，轉為integer類型后再進行計算，計算完成后，轉為double類型返回給用戶），點的數據結構為：

struct Vertex {int64_t x;int64_t y; };

2. 點的順序（Vertex order)

Vatti 算法中通常優先按照y值進行對點排序，如果y值相等，則按照x值進行排序，點的比較算法為：

bool operator<(const Vertex& a, const Vertex& b) {if (a.y == b.y) {return a.x < b.x;}return a.y < b.y; }

3. 邊 （Edge)

一條邊e由兩個點組成: start和end，邊的起點和終點滿足: e.start < e.end,邊的數據結構為：

struct Edge {Vertex start;Vertex end; }；

3.1 左側邊和右側邊（Left-hand Edge and Right-hand Edge)

左和右是相對于圖形的內側區域而言的，在圖形內側的左邊的邊稱為左側邊，在圖形內側的右邊的邊稱為右側邊。如下圖1

圖1 （圖片來源：Computer graphics and geometric modeling: implementation and algorithms )

圖1中：

• Left edges：$p_0{p}_8,p_8{p}_7,p_7{p}_6$, 和 $p_4{p}_3,p_3{p}_2$
• Right edges：$p_0{p}_1,p_1{p}_2$, 和 $p_4{p}_5,p_5{p}_6$

3.2 左側界和右側界 (Left Bounds and Right Bounds)

連續的左側邊組成一個左側界，連續的右側邊組成一個右側界。上圖1中：

• Left Bounds:
  • $B_1=(p_0{p}_8,p_8{p}_7,p_7{p}_6)$
  • $B_2=(p_4{p}_3,p_3{p}_2)$
• Right Bounds:
  • $B_3=(p_0{p}_1,p_1{p}_2)$
  • $B_4=(p_4{p}_5,p_5{p}_6)$

4. 局部最小多邊形（Local mininum)

一個局部最小多邊形（Local minimum)由一個根節點(root vertex)，以及其相連的左側界和右側界組成，這些左側界和右側界同時必須滿足以下條件：

• 左側界和右側界的第一條邊不能是水平的
• 左側界和右側界的最后一條邊不能是水平的

如下圖2所示，黑色部分是根節點，綠色部分是左側界，紅色部分為右側界，下面的多邊形可以由三個黃色虛線框標出的Local mininum組成。

圖2

5. 局部最小多邊形集（Local Mininum List: LML)

將圖2中的三個黃色虛線框標出的最小多邊形放到一個集合中，并按黑色根節點的y坐標按照從小到大排序，就得到了Local mininum的集合，即LML。

6. 掃描線（Scan Line)

從下往上，經過多邊形的每一個頂點以及多邊形邊的交點的水平直線，稱為掃描線。
對于LM,如果它的根節點位于Scan Line上，那么，該LM起始于該Scan Line。

7. 活躍邊（Active edge）

如果某條非水平的邊和Scan Line相交（包含邊的起點，終點在Scan Line上，或者邊的中間部分和Scan Line相交），那么稱這條邊為活躍邊（Active edge)。根據交點在Active edge上的不同位置：

如果交點是Active edge的起點，那么稱該Active edge位于Scan Line之上

如果交點是Active edge的終點，那么稱該Active edge位于Scan Line之下

如果交點是Active edge除掉起點和終點的其它點，那么稱該Active edge位于Scan Line之下或之上

如下圖3，紅色的Active edge位于Scan Line之上，藍色的Active edge位于Scan Line之下，黑色的Active edge位于Scan Line之下或之上：

圖3：Active edge和Scan Line的關系

1. 對Active edge進行排序

如果Active edge位于Scan Line之上（包含相交），這些Active edges將按照交點（與Scan Line 相交）或起點（位于Scan Line之上）的X坐標值進行排序，如果坐標值相等，將按順時針方向對這些Active edge進行排序，如下圖4，位于Scan Line之上或相交的紅色Active edges的排序如標號所示：

圖4：位于Scan Line之上的Active edge的排序

如果Active edge位于Scan Line之下（包含相交），這些Active edges將按照交點（與Scan Line 相交）或終點（位于Scan Line之上）的X坐標值進行排序，如果坐標值相等，將按逆時針方向對這些Active edge進行排序，如下圖5，位于Scan Line之下或相交的綠色Active edges的排序如標號所示：

圖5：位于Scan Line之下的Active edge的排序。 共線的Active edge可以隨意排序。

三、算法介紹

Vatti clipping的核心算法分為以下幾步：

生成圖形的LML

根據LML的root vertex,生成一個Scan Beam List（SBL）, SBL里面是按從小到大排好序的root vertex的Y坐標值

從SBL中取出最小的Y值，找到和縱坐標值為Y的Scan line相交的所有活躍邊(Active edges)

處理找到的Active edges

將每條Active edge的終點的Y坐標加入到SBL, 并將SBL維持在有序狀態

找出和當前Scan line相交的邊的交點以及從SBL中獲得的Y坐標生成的下一條Scan Line相交的交點

處理這些位于Scan beam內部的交點（不含Scan beam上部的交點）

將Scan Line移動到Scan beam上部，找到對應的Active edges

重復4-9步驟直到所有的圖形都處理到了

下面詳細介紹各步：

1. 生成圖形的LML

LML是根據vertex排好序了的，排序規則是根據root vertex按照點的排序規則進行排序。對于root vertex重合的情況，順序可以是任意的。

2. 初始化SBL

SBL里面是按從小到大排好序的LML的所有root vertex的Y坐標值

3. 生成Scan Line

取出并刪除SBL中的最小值，形成一條Scan Line

4. 找到Active Edges

找到和當前Scan Line相交的所有活躍邊：

找到位于Scan Line之下的Active Edges
那些和上一條Scan Line相交的邊或者起點和上一條Scan Line重合的邊，是位于當前Scan Line之下的邊。如下圖6所示：

圖6

找到位于Scan Line之上的Active Edges

• 和上一條Scan Line相交的邊或者起點和上一條Scan Line重合且終點不和當前Scan Line重合的邊，是位于當前Scan Line之上的Active Edges，如下圖7所示：
  

圖7

• 和上一條Scan Line相交的邊或者起點和上一條Scan Line重合且終點和當前Scan Line重合的邊，以及起點位于當前Scan Line的邊，是位于當前Scan Line之上的Active Edges，如下圖8所示：
  

圖8

• 對與LM,如果其root verter和當前Scan Line重合，那么它的第一條左側邊（Left edge)和第一條右側邊（Right edge)，是位于當前Scan Line之上的Active Edges，如下圖9所示：
  

圖9

這里對于水平邊（Horizontal edges）和共線邊（Collinear edges）的處理要注意：

• Active Edges中是沒有水平邊的，對于這些和Scan Line重合的水平邊，放在一個閉區間的集合中。和Active Edges分開存放
• 對于共線的Active Edges, 這在Vatti clipping算法是必須要通過其它辦法修正的：
  • 如果對于Scan line上方的兩條active edge是colinear的，那么比較長的那條邊將會被分成兩部分：和其它active edge重合的部分將會被移除，剩下的部分和圖形的其它部分向連接。
  • 如果兩條colinear的active edge完全重合，那么，其中一條將會被移除，之前和被移除的active edge相連接的邊和剩下沒有被移除的active edge相連接。

對于共線的Active Edges的處理示意圖如下圖10所示：

圖10

5. 處理active edges

對于每條Active edge, 記x為下面的任意一種情況的X坐標的值：

• 如果Active edge和Scan Line相交，交點的X坐標的值
• 如果Active edge的起點和Scan Line重合，起點的X坐標的值
• 如果Active edge的終點和Scan Line重合，終點的X坐標的值

這樣，每條active edge都對應于一個x值，對于還未處理的active edges集合，則由一個x值的集合，找到最小的x值。對于下圖10中：

圖10

上圖中標紅的點是最小的x值對應的點，Scan Line上方的active edges是紅色的，Scan Line下方的active edges是藍色的，水平邊是黑色的。

對和紅點相連的active edges的進行如下處理（如適用才處理）：

將Right-hand Edge上的vertex添加到左側的polygon, 如下圖11所示：

圖11

在Scan Line下方的Active edge的終點叫做top vertices,將它們添加到Scan Line下方的polygon, 如下圖12所示：

圖12

在Scan Line上方的Active edge的起點叫做bottom vertices,將它們添加到Scan Line上方的polygon, 如下圖13所示：

圖13

將Left-hand Edge上的vertex添加到右側的polygon, 如下圖14所示：

圖14

接下來，對沒有處理的active edges, 重復上面的步驟直到所有的active edges都處理完畢。
上面的處理過程中，有兩種特殊情況需要進行特殊處理：

如果Scan Line下方沒有active edges，那么左側的polygon必須拆分成兩個，如下圖15虛線所示：

圖15

如果Scan Line上方沒有active edges，那么左側的polygon和右側的polygon必須合并成1個，如下圖16虛線所示：

圖16

這里圖15和圖16分別對應的是Scan Line位于要處理的圖形的最底部和最頂部的情況。

未完待續

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Reference:

https://github.com/dpuyda/triclipper/blob/master/docs/how_it_works.md#local-minimums

總結

以上是生活随笔為你收集整理的Vatti clipping 算法介绍的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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