一、子空間的概念

（需要說明的是并非原創，只是看到某博主記錄的相關內容對我來說比較有意義所以就總結整理了一下，第一次發，也不知道這樣的格式對不對，希望以后自己可以把學習到的以及自己領悟到的都記在這里。）

矩陣的四個基本子空間

1、零空間

矩陣A的零空間就Ax=0的解的集合。假設矩陣的秩為r，矩陣為m*n的矩陣，則零空間的維數為n-r。因為秩為r，則自由變量的個數為n-r，有幾個自由變量，零空間就可以表示層幾個特解的線性組合，也即是零空間的維數為自由變量的個數。

2、列空間

矩陣A的列空間就是矩陣A中各列的線性組合。假設矩陣的秩為r，矩陣為m*n的矩陣，則列空間可以表示為r個主元的線性組合，即零空間的維數為r。

3、行空間

在線性代數中，我們一般習慣將矩陣看出是一組列向量的組合，matlab中矩陣的存儲是按列存儲的(c中不是)。因此，我們可以將矩陣A進行轉置后來討論行空間和左零空間。假設轉置后的矩陣為AT，則A的行空間就是AT的列空間，A的左零空間為AT的零空間。注意這里AT為n*m的矩陣。則此時行空間的維數為r。

4、左零空間

左零空間是ATx=0的解的集合。由于秩為r，則自由變量的個數為m-r，即左零空間的維數為m-r。

二、正交子空間

定義：兩個子空間正交即兩個子空間的任意兩個向量正交
其中行空間與零空間正交，列空間與左零空間正交。

三、空間投影

1、二維投影

上圖表示的是，向量b在向量a上的投影。顯然有如下表達式：

其中，P為投影矩陣，由P的表達式可以看出，它具有如下性質：

投影矩陣性質說明（1）PT=P說明投影矩陣是一個對稱陣。（2）P2=P即進行第二次投影時，還是回投影在第一次投影的地方。

2、三維投影

三維投影，就是將一個向量投影到一個平面上。同上面一樣，假設是將b向量投影到平面上的p向量，則有表達式：

e是垂直與平面的向量。由于p向量在平面上，則p向量可以由該平面的2個線性無關向量(正如，在xy平面的任何向量都可以由x軸，y軸表示)表示：

由于e垂直平面，則e向量垂直與平面中的任意向量，則有：

將上式化簡求得x：

又因為p=Ax，Pb=p，則得到投影矩陣為：
P=A(ATA)-1)AT
由P的表達式可以看出，它具有如下性質：

上面的投影矩陣是通式，當投影在一維情況時，A即為直線上的任意一個向量a,投影矩陣為：

與二維投影中得到的結論是一致的。
后續會把這個知識點應用到高光譜圖像上，應用后會繼續記錄~

總結

以上是生活随笔為你收集整理的正交子空间投影的学习笔记的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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