從這篇開始講講光滑微分流形。

7.1 拓?fù)淞餍?/h1>

第一次學(xué)到流形是在尤承業(yè)的基礎(chǔ)拓?fù)鋵W(xué)講義中的拓?fù)淞餍?#xff0c;也就是具有Hausdorff性質(zhì)的拓?fù)?#xff0c;而且$\text{每一點(diǎn)都有一個(gè)同胚于歐氏空間}{\mathbb{R}}^n\text{的開鄰域}$，并且這個(gè)流形的維數(shù)順勢(shì)定義為$n$.
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下面關(guān)于流形維數(shù)的定義啰嗦幾句：
這里的定義，只要認(rèn)同了（或者已經(jīng)學(xué)過同調(diào)群）${\mathbb{R}}^m$與${\mathbb{R}}^n$，當(dāng)$m=n$時(shí)，不同胚，那流形維數(shù)的定義是沒有問題的。

但仔細(xì)想一想，要是用“$\text{每一點(diǎn)都有一個(gè)同胚于歐氏空間的開領(lǐng)域}$”，這里便需要驗(yàn)證維數(shù)的良定義，也就是：是否存在某一點(diǎn)，它既有一個(gè)鄰域同胚與${\mathbb{R}}^m$又同胚于${\mathbb{R}}^n$，且$m=n$呢？如果是，情況就會(huì)相當(dāng)糟糕，因?yàn)榱餍蔚木S數(shù)定義就會(huì)出問題。好在這種情況不會(huì)出現(xiàn)，齊震宇老師的課程中開始就提到了，Invariance of domain theorem 確保了我們可以良定義流形的維數(shù)。
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以前學(xué)點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)完之后還不知道在干嘛，現(xiàn)在微分流形是用到挺多拓?fù)涞?#xff0c;大概才意識(shí)到拓?fù)渲允莟op，是因?yàn)樗鼜拈_集這個(gè)已經(jīng)簡(jiǎn)單到不行的結(jié)構(gòu)出發(fā)去看我們能得到什么性質(zhì)。

一般我們考慮的拓?fù)渫粫?huì)太糟糕，往往不止假設(shè)Hausdorff, 還假設(shè)是第二可數(shù)的，Hausdorff保證流形中的開集不會(huì)“粘”在一起分不開，從而序列的極限是唯一的。

當(dāng)然我們也有拓?fù)淞餍蔚睦?#xff0c;分別不是第二可數(shù)（不可數(shù)個(gè)歐氏空間的無(wú)交并），或者不是Hausdorff的（取平面中的兩條直線$y=\pm 1$，$M$為商空間：當(dāng)$x=0$時(shí)，$(x,1)～(x,?1)$，從而$(0,?1),(0,1)$不存在不相交的開鄰域）。

要理解第二可數(shù)得先理解拓?fù)浠?#xff0c;拓?fù)浠怯脕?lái)生成拓?fù)涞?#xff0c;比方說(shuō)度量空間中的有理數(shù)中心，有理數(shù)半徑的開球，可數(shù)的拓?fù)浠梢岳斫鉃閷?duì)開集有一個(gè)可數(shù)的“分解”或者“近似”，可以參見這個(gè)回答：
https://math.stackexchange.com/questions/2131530/why-is-important-for-a-manifold-to-have-countable-basis
最近要用到的應(yīng)該是單位分解定理的證明，到時(shí)候會(huì)說(shuō)明 局部緊致+$C_2$+Hausdorff 可以推出仿緊。
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這樣就可以給出一個(gè)拓?fù)淞餍蔚亩x：

Definition 7.1.1 拓?fù)淞餍?Topological manifold)
$M$是一個(gè)拓?fù)淇臻g，如果還滿足：
(1) $M$作為拓?fù)淇臻g是Hausdorff的；
(2) $M$是第二可數(shù)的；
(3) $M$局部同胚于$n$維歐氏空間：對(duì)流形上任意一點(diǎn)，存在鄰域，同胚于${\mathbb{R}}^n$中的某個(gè)開集。

最簡(jiǎn)單的例子當(dāng)然是歐氏空間 ${\mathbb{R}}^n$ 自身就是一個(gè)n維拓?fù)淞餍?#xff1b;再比如說(shuō)一維圓周 $S^1$，可以先去掉北極點(diǎn)，剩下的開區(qū)間有一個(gè)到 ${\mathbb{R}}^1$ 的同胚，再去掉南極點(diǎn)，也有一個(gè)到 ${\mathbb{R}}^1$ 的同胚，根據(jù)定義 $S^1$ 是一個(gè)一維拓?fù)淞餍?#xff1b;再比如 $S^n$ ；有限維線性空間； 更進(jìn)一步一般線性群$GL(n,\mathbb{R})$，都是拓?fù)淞餍巍?br /> ?

7.2 微分流形

動(dòng)機(jī)是一件很重要的事，所謂拓?fù)?#xff0c;是討論在連續(xù)的意義下不變的性質(zhì)，要是我們不滿足于此，比如之前歐氏空間中的曲率，都是需要微分運(yùn)算的，那還想在流形上進(jìn)行微積分，就得先引入微分的概念，我們熟悉的只有歐氏空間的微積分，所以得想辦法把歐氏空間的微分結(jié)構(gòu)抽象出來(lái)，賦給拓?fù)淞餍巍?/p>

根據(jù)拓?fù)淞餍蔚亩x(3)，我們可以在拓?fù)淞餍?span id="ozvdkddzhkzd" class="katex--inline">$M$上取個(gè)集合，連同這個(gè)集合上規(guī)定的同胚映射湊成一對(duì)，用 $(U_{\alpha },{\phi }_{\alpha })$ 的形式表示，這就是一個(gè)坐標(biāo)卡(cooridinate chart)，因?yàn)橥負(fù)淞餍蔚拿恳稽c(diǎn)都包含在一個(gè)鄰域 $U_{\alpha }$ 中，所以每個(gè)點(diǎn)都包含在至少一個(gè)這樣的坐標(biāo)卡中。

我們想說(shuō)一個(gè)定義在流形上的函數(shù)是光滑的，可以通過已經(jīng)有的流形上到歐氏空間的同胚${\phi }_{\alpha }:U_{\alpha }\to {\mathbb{R}}^n$，以及復(fù)合映射$f°{\phi }_{\alpha }^{?1}:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ 來(lái)定義流形上的可微：我們稱 $f:M\to \mathbb{R}$ 光滑當(dāng)且僅當(dāng)$f°{\phi }_{\alpha }^{?1}$光滑。

既然我們的目的是說(shuō) $f$ 光滑，那么應(yīng)該對(duì)于復(fù)合怎么樣的 $\phi$ 是無(wú)關(guān)的，這就對(duì) $\{U_{\alpha },{\phi }_{\alpha }\}$ 這個(gè)集合本身有一定的要求：我們說(shuō)兩個(gè)坐標(biāo)卡$(U,\phi ),(V,\psi )$是 相容的 ，確切的說(shuō)在這里是微分相容的，是指要么$U\cap V=?$， 要么 $M$ 上的既屬于$(U,\phi )$ 又屬于 $(V,\psi )$ 的公共部分，有一個(gè)轉(zhuǎn)移函數(shù)，定義為：$\psi °{\phi }^{?1}:\phi (U\cap V)\to \psi (U\cap V)$ 是一個(gè)微分同胚。
之所以要這樣定義，最本質(zhì)的點(diǎn)在于流形是局部定義的，我們只能在一個(gè)小開集上討論可微性，要想超出這個(gè)小開集的范圍，得先轉(zhuǎn)移到與別的開集相交的部分。

什么樣的相容條件，就決定了什么樣的微分流形，比如要是 $\psi °{\phi }^{?1}$ 及它的逆都是$C^k$的，那么我們可以類似的定義$C^k?$微分流形。在這里討論的所有坐標(biāo)卡相容，都是光滑相容。
兩兩相容的一族坐標(biāo)卡 $\{U_{\alpha },{\phi }_{\alpha }\}$并且${?}_{\alpha \in \lambda }{U}_{\alpha }=M$，就稱為一個(gè)地圖冊(cè)，圖冊(cè)或者坐標(biāo)卡集(atlas)，要是所有互相相容的坐標(biāo)卡，都已經(jīng)放在了同一個(gè)地圖冊(cè)里，稱這樣的地圖冊(cè)是極大地圖冊(cè)(maximal atlas)。

那么這樣，我們就可以定義本篇最重要的概念了：

Definition 7.2.1 微分結(jié)構(gòu) (Differential structure)
一個(gè)極大地圖冊(cè)，就是定義在$n$-維拓?fù)淞餍紊系奈⒎纸Y(jié)構(gòu)。

我覺得入門微分流形的第一個(gè)重要的地方就是理解什么是微分結(jié)構(gòu)。他定義前提是在拓?fù)淞餍紊?#xff0c;包含了坐標(biāo)卡，相容性條件（轉(zhuǎn)移函數(shù)），極大地圖冊(cè)。

那么當(dāng)然會(huì)有問題了，我要驗(yàn)證一個(gè)拓?fù)淞餍问俏⒎至餍?#xff0c;就需要給出微分結(jié)構(gòu)，也就是極大地圖冊(cè)，而極大地圖冊(cè)中可以有很多坐標(biāo)卡，可數(shù)個(gè)，不可數(shù)個(gè)都有可能，我不可能寫的出來(lái)。好在有定理保證了，只要給出了一個(gè)地圖冊(cè)，也就是定義域覆蓋住了$M$，且其中的坐標(biāo)卡兩兩相容，那么這個(gè)地圖冊(cè)就唯一的包含在一個(gè)極大地圖冊(cè)中，從而使拓?fù)淞餍?span id="ozvdkddzhkzd" class="katex--inline">$M$成為微分流形：

Lemma 7.2.2
(1) 每一個(gè)地圖冊(cè)唯一的包含在一個(gè)極大地圖冊(cè)中；
(2) 兩個(gè)地圖冊(cè)，都被包含在同一個(gè)極大地圖冊(cè)中當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)地圖冊(cè)是相容的。

證明思路：
(1) 現(xiàn)在已經(jīng)有一個(gè)地圖冊(cè)$\mathcal{A}$，我們這樣給出一個(gè)新的集合：$\overline{\mathcal{A}}$是所有與$\mathcal{A}$相容的坐標(biāo)卡的集合。
接著首先說(shuō)明$\overline{\mathcal{A}}$就是一個(gè)地圖冊(cè)：其中任意給定的兩個(gè)坐標(biāo)卡，都和$\mathcal{A}$中的任意一個(gè)坐標(biāo)卡相容，通過$\mathcal{A}$中的坐標(biāo)卡作為橋梁，即可說(shuō)明相容性。
極大性從構(gòu)造中就可以看出。
唯一性是因?yàn)榧僭O(shè)還有極大地圖冊(cè)，必然包含于$\overline{\mathcal{A}}$，反過來(lái)$\overline{\mathcal{A}}$也包含于極大地圖冊(cè)中，所以唯一。

(2) 充分性：這兩個(gè)地圖冊(cè)相容，從而可以合并成一個(gè)新地圖冊(cè)，由(1)知他們包含在同一個(gè)極大地圖冊(cè)中。
必要性：極大地圖冊(cè)中坐標(biāo)卡兩兩相容，從而原本的兩個(gè)地圖冊(cè)相容。

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有了這個(gè)定理保證，在驗(yàn)證微分結(jié)構(gòu)的時(shí)候就方便了很多。

比方說(shuō)我們就可以驗(yàn)證，之前在拓?fù)淞餍沃信e的幾個(gè)例子${\mathbb{R}}^n$，$S^n$，有限維線性空間，$GL(n,\mathbb{R})$，都可以給出相容的坐標(biāo)卡，從而他們也是光滑流形。

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綜上，我們要證明一個(gè)空間 $M$ 是微分流形，首先要說(shuō)明他是一個(gè)拓?fù)淞餍?#xff0c;這就意味著要先給出 $M$ 上的拓?fù)?#xff0c;驗(yàn)證其是一個(gè)拓?fù)淞餍沃笤俳o出一個(gè)覆蓋住 $M$ 的地圖冊(cè)，從而有了微分結(jié)構(gòu)。

事實(shí)上，$M$上的拓?fù)涫怯傻貓D冊(cè)唯一決定的，我們可以把歐氏空間的拓?fù)渚植康馁x予到流形上，這樣就避免了在 $M$ 上重新定義拓?fù)洹?br /> ?
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Theorem 7.2.3 從集合到光滑流形
給定集合 $M$ 的一個(gè)覆蓋 $\{U_{\alpha }\}$，且在每個(gè)$U_{\alpha }$上有一個(gè)單射 ${\phi }_{\alpha }:U_{\alpha }\to {\mathbb{R}}^n$，并且滿足下列條件：
(1) $?\alpha$，${\phi }_{\alpha }(U_{\alpha })$是${\mathbb{R}}^n$中開集；
(2) $?\alpha ,\beta$，${\phi }_{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta }),{\phi }_{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })$也都是${\mathbb{R}}^n$中開集；

(3) 當(dāng)$U_{\alpha }\cap U_{\beta }=?$時(shí)，${\phi }_{\alpha }°{\phi }_{\beta }^{?1}:{\phi }_{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to {\phi }_{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })$是光滑的；

(4) 存在可數(shù)多個(gè) $U_{\alpha }$覆蓋住 $M$；
(5) 對(duì)$M$上不同的兩點(diǎn)$p,q$，他們要不包含在同一個(gè)$U_{\alpha }$中，要不分別包含在不相交的兩個(gè)集合$U_{\alpha },U_{\beta }$中。

這樣$M$是一個(gè)光滑流形，并且有唯一的拓?fù)浜臀⒎纸Y(jié)構(gòu)$\{U_{\alpha },{\phi }_{\alpha }\}$.

證明思路：
這個(gè)定理的條件很多，但其實(shí)各司其職(1)(2)(3)讓我們可以對(duì)$M$定義拓?fù)?#xff0c;并且(3)保證了坐標(biāo)卡的相容性，從而有唯一微分結(jié)構(gòu)，(4)保證第二可數(shù)性，(5)保證Hausdorff.

先在$M$上定義拓?fù)?#xff1a;
記${\tilde{U}}_{\alpha }={\phi }_{\alpha }(U_{\alpha })?{\mathbb{R}}^n$，從而${\phi }_{\alpha }:U_{\alpha }\to {\tilde{U}}_{\alpha }$是雙射，取$?V?{\tilde{U}}_{\alpha }$是開集，定義${\phi }_{\alpha }^{?1}(V)$是$M$中開集。接著證明在(1)(2)(3)條件下，像${\phi }_{\alpha }^{?1}(V)$這樣的集合構(gòu)成了$M$的拓?fù)浠?#xff0c;從而有了在$M$上的拓?fù)?#xff1a;
記$W$為${\tilde{U}}_{\beta }$中開集，那么可以知道${\phi }_{\alpha }°{\phi }_{\beta }^{?1}(W)$為${\tilde{U}}_{\alpha }$中的開集，從而$?p\in {\phi }_{\alpha }^{?1}(V)\cap {\phi }_{\beta }^{?1}(W)$，$p\in {\phi }_{\alpha }^{?1}(V\cap {\phi }_{\alpha }°{\phi }_{\beta }^{?1}(W))={\phi }_{\alpha }^{?1}(V)\cap {\phi }_{\beta }^{?1}(W)$，這樣就證明了把歐氏空間中的開集通過 $\phi$ 逆回去確實(shí)成為了$M$上的拓?fù)浠?/p>

第二可數(shù)是因?yàn)榭蓴?shù)個(gè)$U_{\alpha }$，每個(gè)同胚于歐氏空間，從而有可數(shù)拓?fù)浠?#xff0c;逆回到$M$上，總共的拓?fù)浠琅f是可數(shù)的；Hausdorff是顯然的。

這個(gè)拓?fù)涞奈ㄒ恍?#xff1a;首先由于$\phi$是單射和(1)就意味著$M$上的拓?fù)洳荒鼙任覀兌x的拓?fù)涓?xì)，否則映到歐式空間就不是開集了。其次要保證$\phi$的連續(xù)性，$M$上的拓?fù)浔厝话覀兌x的拓?fù)?#xff0c;同時(shí)不能比我們定義的更粗了。
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在Nigel Hitchin的講義中類似通過坐標(biāo)卡定義了$M$上的拓?fù)?#xff1a;條件和定理中的條件是一樣的，定義$V?M$是開集，當(dāng)且僅當(dāng)$?\alpha ,{\phi }_{\alpha }(V\cap U_{\alpha })$是${\mathbb{R}}^n$中開集。這與我們定義的拓?fù)涫堑葍r(jià)的。

總而言之，流形的本質(zhì)是他不像歐氏空間是平直的，流形是一個(gè)扭曲的空間，我們有的只是局部性質(zhì)。

參考：
[1]John M. Lee. ?Introduction to Topological Manifolds. Graduate Texts in Mathematics, Vol. 218. Springer-Verlag, New York, 2000.
[2]N. Hitchin. ? DIFFERENTIABLE MANIFOLDS Course C3.1b 2012 .
[3]廈門大學(xué)宋翀老師講義.

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的微分几何笔记(7) —— 光滑微分流形的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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