一、向量的由來(lái)

????????向量的發(fā)展可以從復(fù)數(shù)的幾何表示談起，十八世紀(jì)末期首次利用坐標(biāo)平面上的點(diǎn)來(lái)表示a+bi，將向量用于解決幾何與三角問(wèn)題。但是復(fù)數(shù)的利用有限制，只能表示平面，無(wú)法表示三維，十九世紀(jì)中期發(fā)明了四元數(shù)（超復(fù)數(shù)，是由實(shí)數(shù)和三個(gè)虛數(shù)單位i,j,k），后面麥克斯韋把四元數(shù)的數(shù)字和向量部分分開(kāi)處理，創(chuàng)造了大量的矢量分析。

二、向量的表達(dá)方式

2.1代數(shù)表示

????????印刷使用黑體的英文字母，手寫(xiě)則在字母上方添加箭頭。

2.2幾何表示

????????向量可以使用有向線段來(lái)表示，長(zhǎng)度表示向量的大小，箭頭則表示向量的方向。

????????零向量：長(zhǎng)度為0的向量

????????單位向量：長(zhǎng)度為1個(gè)單位的向量

2.3坐標(biāo)表示

????????平面直角坐標(biāo)系：取x，y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i，j作為基底。原點(diǎn)到某點(diǎn)的向量稱為該點(diǎn)的位置向量。

????????空間直角坐標(biāo)系：取x，y，z軸方向的三個(gè)單位向量i，j，k作為基底。位置向量同理。

三、向量的行列式

? ? ? ? 行列式的值是一個(gè)數(shù)字，表示向量所在空間的元素大小。

? ? ? ? 平面坐標(biāo)系中的所有點(diǎn)都可以用，這兩個(gè)向量刻畫(huà)，也稱平面直角坐標(biāo)空間的標(biāo)度。

? ? ? ? 在三維空間中，由三個(gè)三維向量構(gòu)成的行列式的值，等同于三個(gè)3維向量的混合積。

四、向量的點(diǎn)乘與叉乘

4.1點(diǎn)乘（內(nèi)積）

? ? ? ? 點(diǎn)乘的坐標(biāo)形式運(yùn)算：?，坐標(biāo)形式是將進(jìn)行展開(kāi)，再進(jìn)行三角函數(shù)運(yùn)算。

? ? ? ? 可使用點(diǎn)乘求出其夾角：

? ? ? ? 平行向量點(diǎn)乘結(jié)果為

? ? ? ? 點(diǎn)乘滿足交換律。

? ? ? ? 垂直向量點(diǎn)乘結(jié)果為0.

4.2叉乘

? ? ? ? 叉乘：

? ? ? ? 叉乘后向量模：

? ? ? ? 叉乘后向量的方向滿足右手定則，不滿足交換律與結(jié)合律。可使用矩陣進(jìn)行運(yùn)算。

五、積分

5.1定積分

? ? ? ? 5.1.1定義

????????????????定積分是積分的一種，是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上積分和的極限。

? ? ? ? 5.1.2一般定理

????????????????定理1：設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上可積。

????????????????定理2：設(shè)f(x)區(qū)間[a,b]上有界，且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則f(x)在[a,b]上可積。

????????????????定理3：設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)，則f(x)在[a,b]上可積。

? ? ? ? 5.1.3牛頓-萊布尼茨公式

????????????????如果f(x)是[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，并且有F′(x)=f(x)，那么

? ? ? ? 5.1.4基本求解方法

????????????????換元積分法

? ? ? ? ? ? ? ? （1）

????????????????（2）在上單值、可導(dǎo);

????????????????（3）當(dāng)時(shí)，,且,則

????????????????分部積分法

????????????????設(shè)u=u(x),v=v(x)均在區(qū)間[a,b]上可導(dǎo)，且u′，v′∈R（[a,b]),則有分部積分公式：?;

5.2不定積分

????????5.2.1定義

? ? ? ? ?定積分是一個(gè)數(shù)，不定積分是一個(gè)表達(dá)式，連續(xù)函數(shù)，一定存在定積分和不定積分；若在有限區(qū)間[a,b]上只有有限個(gè)間斷點(diǎn)且函數(shù)有界，則定積分存在；若有跳躍、可去、無(wú)窮間斷點(diǎn)，則原函數(shù)一定不存在，即不定積分一定不存在。函數(shù)的和的不定積分等于各個(gè)函數(shù)的不定積分的和。

? ? ? ? 5.2.2積分公式

? ? ? ? ?5.2.3積分方法

? ? ? ? ????????1.積分公式法

? ? ? ????????? 2.換元積分法

? ? ? ? ????????（1）第一類換元法：湊微分法

? ? ? ? ????????（2）第二類換元法：第二類換元法的變換式必須可逆，并且函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上是單調(diào)的。常用的有根式代換法和三角代換法

? ? ? ? ????????3.分部積分法

????????????????分部積分法的實(shí)質(zhì)是：將所求積分化為兩個(gè)積分之差，積分容易者先積分。實(shí)際上是兩次積分。一般來(lái)說(shuō)，u,v?選取的原則是：1.積分容易者選為v， 2.求導(dǎo)簡(jiǎn)單者選為u。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的向量与积分的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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