對數的性質及推導

用^表示乘方，用log(a)(b)表示以a為底，b的對數

*表示乘號，/表示除號

定義式：

若a^n=b(a>0且a≠1)

則n=log(a)(b)

基本性質：

1.a^(log(a)(b))=b

2.log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);

3.log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);

4.log(a)(M^n)=nlog(a)(M)

推導

1.這個就不用推了吧，直接由定義式可得(把定義式中的[n=log(a)(b)]帶入a^n=b)

2.

MN=M*N

由基本性質1(換掉M和N)

a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)] * a^[log(a)(N)]

由指數的性質

a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]}

又因為指數函數是單調函數，所以

log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N)

3.與2類似處理

MN=M/N

由基本性質1(換掉M和N)

a^[log(a)(M/N)] = a^[log(a)(M)] / a^[log(a)(N)]

由指數的性質

a^[log(a)(M/N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]}

又因為指數函數是單調函數，所以

log(a)(M/N) = log(a)(M) - log(a)(N)

4.與2類似處理

M^n=M^n

由基本性質1(換掉M)

a^[log(a)(M^n)] = {a^[log(a)(M)]}^n

由指數的性質

a^[log(a)(M^n)] = a^{[log(a)(M)]*n}

又因為指數函數是單調函數，所以

log(a)(M^n)=nlog(a)(M)

其他性質：

性質一：換底公式

log(a)(N)=log(b)(N) / log(b)(a)

推導如下

N = a^[log(a)(N)]

a = b^[log(b)(a)]

綜合兩式可得

N = {b^[log(b)(a)]}^[log(a)(N)] = b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}

又因為N=b^[log(b)(N)]

所以

b^[log(b)(N)] = b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}

所以

log(b)(N) = [log(a)(N)]*[log(b)(a)] {這步不明白或有疑問看上面的}

所以log(a)(N)=log(b)(N) / log(b)(a)

性質二：(不知道什么名字)

log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]

推導如下

由換底公式[lnx是log(e)(x),e稱作自然對數的底]

log(a^n)(b^m)=ln(a^n) / ln(b^n)

由基本性質4可得

log(a^n)(b^m) = [n*ln(a)] / [m*ln(b)] = (m/n)*{[ln(a)] / [ln(b)]}

再由換底公式

log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]

--------------------------------------------(性質及推導 完 )

公式三:

log(a)(b)=1/log(b)(a)

證明如下:

由換底公式 log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a) ----取以b為底的對數,log(b)(b)=1

=1/log(b)(a)

還可變形得:

log(a)(b)*log(b)(a)=1

三角函數的和差化積公式

sinα＋sinβ＝2sin(α＋β)/2·cos(α－β)/2

sinα－sinβ＝2cos(α＋β)/2·sin(α－β)/2

cosα＋cosβ＝2cos(α＋β)/2·cos(α－β)/2

cosα－cosβ＝－2sin(α＋β)/2·sin(α－β)/2

三角函數的積化和差公式

sinα ·cosβ＝1/2 [sin(α＋β)＋sin(α－β)]

cosα ·sinβ＝1/2 [sin(α＋β)－sin(α－β)]

cosα ·cosβ＝1/2 [cos(α＋β)＋cos(α－β)]

sinα ·sinβ＝-1/2 [cos(α＋β)－cos(α－β)]

總結

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