文章目錄

• 一、樹的基本概念
• • 樹的性質
• 二、二叉樹
• • 滿二叉樹
  • 完全二叉樹
  • 二叉排序樹
  • 平衡二叉樹
  • 二叉樹的性質
  • 完全二叉樹的性質
• 三、二叉樹的儲存結構
• • 順序儲存
  • 鏈式存儲
• 四、樹的儲存方式
• • 雙親表示法
  • 孩子表示法
  • 孩子兄弟表示法（二叉樹表示法）
• 五、二叉樹的遍歷
• • 先序遍歷（preOrder、NLR）
  • 中序遍歷（inOrder、LNR）
  • 后序遍歷（postOrder、LRN）
  • 中序遍歷的非遞歸算法
  • 先序遍歷的非遞歸算法
  • 后序遍歷的非遞歸算法
  • 層次遍歷
  • 由遍歷序列構造二叉樹
• 六、線索二叉樹
• • 二叉線索化
  • 遍歷線索二叉樹
• 七、森林
• • 樹轉換為二叉樹
  • 森林轉換為二叉樹
  • 二叉樹轉換為森林
  • 樹的遍歷
  • 森林的遍歷
• 八、二叉排序樹（BST）
• • BST的插入
  • BST的刪除
  • BST的查找
  • BST與二分查找
• 九、平衡二叉樹
• • 平衡二叉樹的插入
• 十、哈夫曼樹
• • 構造哈夫曼樹
  • 哈夫曼編碼

一、樹的基本概念

樹的定義是遞歸的，樹本身也是一種遞歸的數據結構。其作為一種邏輯結構，同時也是一種分層結構。樹適合表示具有層次結構的數據。
度：一個結點的的孩子個數
樹的度：樹中結點的最大度數
數中的分支是有向的，即從雙親指向孩子，所以數中的路徑只能是從上往下的。同一個雙親的孩子間不存在路徑。

樹的性質

• 樹中結點等于所有結點的度數之和加1，即 總邊數+1=度數之和
• 度為 m 的樹中，第 i 層上至多有$m^{i?1}$個結點
• 高度為 h 的 m 叉樹至多有$\frac{m^h?1}{m?1}$個結點
• 具有 n 個結點的 m 叉樹最小高度為$?{\log }_m(n(m?1)+1)?$

二、二叉樹

二叉樹是一種特殊的樹形結構，特點是每個結點至多只有兩棵子樹，但其度可以小于2；并且二叉樹的子樹有左右之分，即使樹中結點只有一棵子樹，也要區分其是左子樹還是右子樹。

滿二叉樹

高度為h，且含有$2^{h?1}$個結點的二叉樹稱為滿二叉樹，即樹中每層都有最多的結點。
根結點從1開始編號，若結點編號為 i，其雙親為$?i/2?$ 其左孩子為2i，右孩子為2i+1。

完全二叉樹

性質：

• 若結點編號 $i\le ?n/2?$，則結點為分支結點，否則為葉子系結點。
• 葉子結點只可能在層次最大的兩層上出現。最有有一個度為1的結點，且該結點只有左孩子。
• 若n為奇數，則每個分支結點都有左右孩子

二叉排序樹

左子樹上所有結點的關鍵字都小于根結點，右子樹上的所有結點關鍵字都大于根結點。

平衡二叉樹

樹上任一結點的左右子樹深度之差不超過1

二叉樹的性質

• 非空二叉樹的葉子結點數等于度為2的結點數+1，即 $n_0=n_2+1$
• 非空二叉樹上第 k 層至多有$2^{k?1}$個結點
• 高度為 h 的二叉樹至多有 $2^h?1$個結點
• 結點數為n的二叉樹有$\frac{(2n)!}{n!(n+1)!}$種形態（卡特蘭數）

完全二叉樹的性質

• 結點 i 的雙親編號為$?\frac{i}{2}?$，即當 i 為偶數時（左孩子），其雙親的編號為 i/2，當i為奇數時，其雙親編號為(i-1)/2。
• 推論：具有n個結點的完全二叉樹，編號最大的分支節點為$?\frac{n}{2}?$
• 結點 i 所在層次為$?{\log }_2[i(2?1)+1]?=?{\log }_{2}i?+1$

三、二叉樹的儲存結構

順序儲存

用一組地址連續的存儲單元依次自上而下、自左至右儲存完全二叉樹的結點元素。
對于一般的二叉樹，必須添加一些空結點。

鏈式存儲

在含有n個結點的二叉鏈表中，含有n+1個空鏈域

四、樹的儲存方式

雙親表示法

采用一組連續空間來儲存每個結點，同時在每個結點中增設一個偽指針，指示其雙親結點在數組中的位置。根結點的下標為0，其偽指針域為-1。
該存儲結構可以很快得到每個結點的雙親位置，但求結點孩子時需要遍歷整個結構。

孩子表示法

為每個結點創建一個鏈表，將該結點的孩子都用單鏈表接起來。再將所有結點順序存儲在一個數組中，數組中每個元素不但儲存結點，還設置一個指針域，指向該結點的孩子鏈表。n個結點就有n個孩子鏈表（葉子結點的孩子鏈表為空表）。
這種方式尋找子女的操作非常直接，而尋找雙親的操作需要遍歷所有孩子鏈表。

孩子兄弟表示法（二叉樹表示法）

以二叉鏈表作為樹的存儲結構。
二叉樹的左指針指向其第一個孩子，右指針指向其下一個兄弟。沿著右指針可以找到所有兄弟結點。
最大優點是可以方便實現樹到二叉樹的轉換，易于找到結點的孩子。缺點是查找雙親結點比較麻煩，可以添加一個parent域指向父結點來解決。

五、二叉樹的遍歷

先序遍歷（preOrder、NLR）

void preOrder(BiTree T){if(T != NULL){visit(T);preOrder(T->lchild);preOrder(T->rchild);} }

中序遍歷（inOrder、LNR）

void inOrder(BiTree T){if(T != NULL){inOrder(T->lchild);visit(T);inOrder(T->rchild);} }

后序遍歷（postOrder、LRN）

無論哪種遍歷，訪問左右子樹的順序都是固定的，只是訪問根結點的順序不同。
每個結點都只訪問一次，時間復雜度均為O(n)。
遞歸工作棧的棧深恰為樹的高度。在最壞情況下，n個結點的樹高為n，空間復雜度為O(n)。

中序遍歷的非遞歸算法

關鍵是用棧記錄當前結點的祖先

void inOrder(BiTree T){initStack(S);BiTree p = T; // 遍歷指針while( !isEmpty(S) || p ){if(p){push(S, p);p = p-> lchild; // 一路向左}else{ // 無法向左下繼續前進，訪問子樹根結點，進入根結點右子樹pop(S, p);visit(p);p = p->rchild;}} }

先序遍歷的非遞歸算法

先序遍歷和中序遍歷的基本思想類似，只需把訪問結點操作放在入棧操作前

void inOrder(BiTree T){initStack(S);BiTree p = T;while( !isEmpty(S) || p ){if(p){visit(p);push(S, p);p = p-> lchild;}else{pop(S, p);p = p->rchild;}} }

后序遍歷的非遞歸算法

沿著根的左孩子，依次入棧，直到左孩子為空。

讀棧頂元素：若其右孩子不空且未被訪問過，進入右孩子并執行1??；否則元素出棧并訪問。需要設定一個輔助指針指向最近訪問過的結點，用于區分訪問該結點時，其上一個結點是它的左子樹還是右子樹。

void postOrder(BTree T){initStack(S);BTree p = T;BTree r = NULL; // 記錄訪問的上一個結點while(p || isEmpty(S)){if(p){ //一直走到樹的最左邊push(S, p);p = p->lchild;}else{getTop(S, p);if(p->rchild && p->rchild != r){ // 若未訪問過右子樹，進入p = p-> rchild;}else{ // 右子樹已訪問過，訪問根結點pop(S, p);visit(p);r = p; // 記錄最近訪問的結點p = NULL; // 遍歷完該子樹，置空}} } }

從棧底結點再加上p結點，剛好構成從根結點到p結點的一條路徑。

層次遍歷

void leverOrder(BiTree T){initQueue(Q);BiTree p;enQueue(Q, T);while( !isEmpty(Q) ){deQueue(Q, p);visit(p);if(p->lchild != NULL)enQueue(Q, p->lchild);if(p->rchild != NULL)enQueue(Q, p->rchild);} }

由遍歷序列構造二叉樹

由二叉樹的先序序列和中序序列可以唯一確定一個二叉樹
在先序遍歷序列中，第一個結點一定是二叉樹的根結點；而在中序遍歷中，根結點必然將中序序列分割成兩個子序列。

由二叉樹的后序序列和中序序列可以唯一確定一個二叉樹
后序序列的最后一個結點一定是二叉樹的根結點。

由二叉樹的層次遍歷和中序遍歷可以唯一確定一個二叉樹

六、線索二叉樹

增加兩個標志域表示指針域是指向左（右）孩子還是指向前驅（后繼）。
以這種結點結構構成的二叉鏈表作為二叉樹的存儲結構，其中指示結點前驅及后繼信息的指針稱作線索。加上線索的二叉樹稱為線索二叉樹。
引入線索二叉樹能夠加快查找結點前驅和后繼的速度，像遍歷單鏈表那樣方便地遍歷二叉樹。
線索化的實質就是遍歷一次二叉樹。

二叉線索化

使用指針pre指向剛剛訪問過的結點，p指向正在訪問的結點，即pre指向p的前驅。
在遍歷的過程中，檢查p的左指針是否為空，若為空就將其指向pre；同樣的檢查pre的右指針。
中序遍歷線索化代碼如下

void creatInThread(ThreadTree T){ThreadTree pre = NULL;if(T != NULL){inThread(T, pre);pre->rchild = NULL; // 處理遍歷的最后一個結點pre->rtag = 1;} }void inThread(ThreadTree &p, ThreadTree &pre){if( p!= NULL ){ inThread(p->lchild, pre);// visitif( p->lhild == NULL ){p->lhild = pre;p->ltag = 1;}if( pre != NULL && pre->rchild == NULL ){pre->rchild = p;pre->rtag = 1;}pre = p;inThread(p->rchild, pre);} }

為了方便，可以在二叉樹的線索鏈表上添加一個頭結點，令其lchild域指向二叉樹的根結點，其rchild域指向中序遍歷的最后一個結點，再把中序遍歷的第一個結點的lchild域指向頭結點。這樣就為二叉樹建立了一個雙向線索鏈表。

建立先序線索二叉樹和后序線索二叉樹的代碼類似，只需變動線索化改造的代碼段以及調用左右子樹遞歸函數的位置。

先序線索化與后序線索化最多有1個空指針域；中序線索化最多有2個空指針域。

遍歷線索二叉樹

中序線索二叉樹的結點隱含了線索二叉樹的前驅后繼信息，在對其進行遍歷時，只要先找到序列中的第一個結點，然后依次找結點的后繼即可。
不含頭結點的中序線索二叉樹遍歷算法如下

void inOrder(ThreadTree T){ThreadTree p = firstNode(T); // 獲取遍歷的起始結點while( p != NULL ){visit(p);p = nextNode(p); // 獲得下一個遍歷結點} }ThreadTree firstNode(ThreadTree p){while( p->ltag == 0 ){p = p->lchild;}return p; }ThreadTree nextNode(ThreadTree p){if( p->rtag == 0)return firstNode(p->rchild); // 返回右子樹的最左結點，即下一個要遍歷的結點elsereturn p->rchild; }

對于先序線索二叉樹，如果有左孩子，則左孩子就是其直接后繼；如果無左孩子但是有右孩子，則右孩子就是其直接后繼；如果是葉結點，其右鏈域指向了結點的后繼。

對于后繼線索二叉樹，其尋找后繼需要知道結點雙親，需采用帶標志域的三叉鏈表作為存儲結構。

七、森林

森林是m棵互不相交的樹的集合。只需把樹的根結點刪除就成了森林；反之，只要給m棵獨立的樹加上一個結點，并把這m棵樹作為該結點的子樹，則森林就成了樹。

樹轉換為二叉樹

二叉樹和樹都可以用二叉鏈表作為存儲結構，給定一棵樹，可以找到唯一一棵二叉樹與之對應。

對于一棵樹，每個結點左指針指向它的第一個孩子，右指針指向它在樹中的相鄰右兄弟。
這種規則下，根結點只有左孩子。

森林轉換為二叉樹

先將森林中的每一棵樹轉換為二叉樹，由于任何一棵樹對應的二叉樹右子樹必空，只需把所有二叉樹的根結點用其右指針連接起來即可，即將所有樹的根結點視為兄弟結點。

二叉樹轉換為森林

若二叉樹非空，則二叉樹根的右子樹棵視為其余樹形成的二叉樹，將其與根斷開，以此類推，把所有子樹釋放。再將每棵二叉樹依次轉換成樹，就得到了原森林。
二叉樹轉換成樹或森林也是唯一的。

樹的遍歷

• 先根遍歷
  若樹非空，先訪問根結點，再依次遍歷根結點的每棵子樹。
  先根遍歷的遍歷序列與對應二叉樹的先序序列相同
• 后根遍歷（中根遍歷）
  若樹非空，先依次遍歷根結點的每棵子樹，再訪問根結點。
  后根遍歷的遍歷序列與對應二叉樹的中序序列相同
• 層次遍歷

森林的遍歷

• 先序遍歷森林
  若森林非空，按如下規則進行遍歷：
  • 訪問森林中第一棵樹的根結點
  • 先序遍歷第一棵樹中根結點的子樹森林
  • 先序遍歷其余樹的森林
• 中序遍歷森林
  若森林非空，按如下規則進行遍歷 （實際上就是依次后根遍歷森林中的每一棵樹） ：
  • 中序遍歷森林中第一棵樹的根結點的子樹森林
  • 訪問第一棵樹的根結點
  • 中序遍歷其余樹的森林

森林的先序遍歷和中序遍歷即為對應二叉樹的先序和中序遍歷。

八、二叉排序樹（BST）

對于二叉排序樹（二叉查找樹），若左子樹非空，則左子樹的所有結點值均小于根結點的值，且也為一棵二叉排序樹；若右子樹非空，則右子樹的所有結點值均大于根結點的值，且也為一棵二叉排序樹。
二叉排序樹可以是空樹。

對二叉排序樹進行中序遍歷，可以得到一個有序序列。

BST的插入

按照如下規則遞歸進行：

若樹空，則直接插入結點

若關鍵字k小于根結點，則插入到左子樹

若關鍵字k大于根結點，則插入到右子樹

插入的結點一定是一個新添加的葉結點，且是查找失敗時路徑上訪問的最后一個結點的孩子。
若插入序列是有序的，則會形成一個傾斜的單支樹，導致二叉樹的性能顯著變壞。

BST的刪除

分為三種情況進行：

若被刪除結點z是葉結點，直接刪除

若結點z只有左子樹或只有右子樹，讓z的子樹成為z父結點的子樹替代z的位置

若結點z有左、右兩棵子樹，則令z的直接后繼（或直接前驅）代替z，再按第一或第二種情況考慮。

BST的查找

從根結點開始，將給定值與根結點關鍵字比較：

若相等，查找成功

若小于根結點關鍵字，進入左子樹進行查找

若大于根結點關鍵字，進入右子樹進行查找

二叉排序樹的查找效率，主要取決于樹的高度。若二叉樹左右子樹高度之差不超過1（平衡二叉樹），則平均查找長度為$O({\log }_{2}n)$，若二叉排序樹每個結點都只有一個結點，平均查找長度為$O(n)$。

BST與二分查找

從查找過程看，二叉排序樹與二分查找十分相似，其平均時間性能差不多；但二分查找的判定樹唯一，二叉排序樹則不唯一。

從結構的維護角度看，二叉排序樹無序移動結點，只需修改指針即可完成插入刪除操作，平均執行時間是$O({\log }_{2}n)$；二分查找的對象是有序順序表，若插入刪除結點，所花時間是$O(n)$。

若有序表是靜態查找表，宜采用順序表作為存儲結構，采用二分查找進行查找操作。
若有序表是動態查找表，宜采用二叉排序樹作為其邏輯結構。

九、平衡二叉樹

為避免樹的高度增長過快，降低二叉排序樹的性能，規定插入和刪除二叉樹的結點時，保證任意結點的左右子樹高度差不超過1。

以$n_h$表示深度為h的平衡樹中含有的最少結點數，有遞推公式$n_h=n_{h?1}+n_{h?2}+1$，且$n_0=0$，$n_1=1$。
含有n個結點的平衡二叉樹最大深度為$O({\log }_{2}n)$，平均查找長度也為$O({\log }_{2}n)$。

平衡因子：結點左右子樹的高度差，取值范圍為-1、0、1。

平衡二叉樹的插入

保持二叉樹平衡的基本思路：每當插入或刪除一個結點，檢查該結點到根結點路徑上的每個結點的平衡因子，調整不平衡的最小子樹的結構，在保持二叉排序樹特性的前提下，使之重新平衡。

對于一個新結點，先按照普通二叉排序樹的規則進行插入操作，再找到其最小不平衡樹，分情況進行調整：

LL平衡旋轉（右單旋轉）：在結點A的左孩子（L）的左子樹（L）上插入了新結點，使A的平衡因子增加為2，導致A為根的子樹失去平衡。
進行一次向右的旋轉操作：將A的左孩子B向右上旋轉，代替A成為根結點；將A結點向右下旋轉，成為B的右子樹的根結點；而B的原右子樹則作為A的左子樹。

RR平衡旋轉（左單旋轉）：在結點A的右孩子（R）的右子樹（R）上插入了新結點，使A的平衡因子減少為-2，導致A為根的子樹失去平衡。
進行一次向左的旋轉操作：將A 的右孩子B向左上旋轉，代替A成為根結點；將A結點向左下旋轉成為B的左子樹的根結點；而B的原左子樹則成為A的右子樹。

LR平衡旋轉（向左后右雙旋轉）：在A的左孩子（L）的右子樹（R）上插入了新結點。
進行兩次旋轉操作，先左旋轉再右旋轉：先將A結點的左孩子B的右子樹根結點C向左上旋轉提升到B結點的位置，此時問題轉化為情形1，只需將C結點再向右上旋轉提升到A結點的位置。

RL平衡旋轉（向右后左雙旋轉）：在A的右孩子（R）的左子樹（L）上插入了新結點。
進行兩次旋轉操作，先右旋轉再左旋轉：先將A結點的右孩子B的左子樹根節點C向右上旋轉提升到B結點的位置，此時問題轉化為情景2，只需將C結點再向左上旋轉提升到A結點的位置。

十、哈夫曼樹

為樹中結點賦予一個數值，成為該結點的權。從根結點到任意結點的路徑長度$l$（經過的邊數）與該節點上權值$w$的乘積稱為該結點的帶權路徑長度。樹中所有葉結點的帶權路徑長度之和稱為樹的帶權路徑長度。即$WPL={\sum }_{i=1}^n{w}_i{l}_i$。

在含有n個帶權葉結點的二叉樹中，WPL最小的二叉樹稱為哈夫曼樹，也稱最優二叉樹。

構造哈夫曼樹

給定n個權值分別為$w_1,w_2...w_n$的結點，構造算法如下：

將n個結點分別作為n棵僅含一個結點的二叉樹，構成森林F；

構造一個新結點，從F中選取兩棵根節點權值最小的樹作為新節點的左右子樹，新結點的權值置為左右子樹根節點權值之和；

從F中刪除剛才選出的兩棵樹，同時將新得到的樹加入F中；

重復步驟2、3，直到F僅剩一棵樹。

從構造過程可以看出哈夫曼樹具有如下特點：

• 每個初始結點都稱為葉結點，且權值越小的結點到根節點的路徑越長。
• 構造過程新建了n-1個結點，因此哈夫曼樹的總結點樹為2n-1。
• 哈夫曼樹中不存在度為1的結點。

哈夫曼編碼

若允許不同字符用不等長的二進制位表示，稱這種編碼為可變長度編碼。
若任何一個編碼都不是其余編碼的前綴，則稱這種編碼為前綴編碼。
利用哈夫曼樹可以設計出總長度最短的二進制前綴編碼。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的王道408数据结构——第五章 树与二叉树的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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