曾經有一個著名的騙局：

小明是一個賭馬愛好者，最近他連續幾次提前收到了預測賭馬結果的郵件，從一開始由于不屑而錯失良機，到漸漸深信不疑，直到最后給郵件發送方匯了巨款才發現上當。

看過這個的人應該知道，騙子收集到一份郵件信息后，分組發送不同預測結果的郵件，賭馬結果公布后，再將篩選出來的那部分人分組，繼續發送下一輪預測郵件。幾輪過后，肯定能保證一部分人收到的預測結果是完全正確的。這也是最關鍵的部分。

那么騙子是如何從幾萬或幾十萬用戶中尋找這些“幸運兒”的呢？這是一種二分法的思想。

假如要順序在100萬人中尋找一個人，最多需要100萬次，而二分法只需要18次。

下面講講一些能夠解決生活中一些具體問題的常用算法。

二分查找

對于一個長度為N的數組，簡單查找最多需要N步；二分查找最多只需要logN步（約定底數為2）。

二分查找相較于簡單查找，極大地提高了效率，但是二分查找的前提是列表是有序的，這也導致了諸多限制。

快速排序

D&C

D&C(divide and conquer)分而治之是一種重要的解決問題思路。當面對問題束手無策時，我們應該考慮一下：分而治之可以解決嗎？

現在有一個問題，假如一塊土地（1680*640）需要均勻地分為正方形，而且正方形的邊長要盡量的大。該怎么分？

這個問題本質就是求兩條邊長的最大公因數。可以使用歐幾里得算法（輾轉相除）

快速排序

快速排序是一種常用的排序算法，比選擇排序快得多（O(n^2)）,快速排序也使用了D&C。

選擇基準值

將數組分成兩個子數組：基準值左邊的數組和基準值右邊的數組

對這兩個數組進行快速排序

快速排序的最糟情況是O(n^2),O(n^2)已經很慢了，為什么還要叫它快速排序呢?

快速排序的平均運行時間為O（nlogn）,而合并排序的時間總是O（nlogn），合并排序似乎更有優勢，那為什么不用合并排序呢？

因為大O表示法中的n是一個常量，當兩種算法的時間復雜度不一樣時，即使n在數值上不同，對總時間的影響很小，所以通常不考慮。

但有些時候，常量的影響很大，對快速排序和合并排序就是這樣，快速排序的常量小得多，所以當這兩種算法的時間復雜度都為O（nlogn）時，快速排序要快得多。而相較于最糟的情況，快速排序遇上平均情況的可能性更大，所以可以稍稍忽視這個問題。（快速排序最糟的情況下調用棧為O(n),在最佳情況下，調用棧長O(logn)）

散列表

使用散列函數和數組可以構建散列表，散列表是包含額外邏輯的數據結構。

但是要編寫出完美的散列函數幾乎不可能，假如給兩個鍵分配的空間相同的話就會出現沖突。如何處理沖突呢?最簡單的辦法是：假如在某一空間上產生沖突，就在這一空間后再加上一個鏈表。但是假如這個鏈表很長，會很影響查找的速度（鏈表只能順序查找，查找時間為O(n)）

所以一個能盡量避免沖突的散列函數是多么重要，那么怎么編寫一個性能較高的散列表呢？

較低的填裝因子（一旦填裝因子大于0.7，就需要調整長度）

良好的散列函數（讓數組中的值呈均勻分布，可以了解下SHA函數）

廣度優先搜索

廣度優先搜索能夠解決兩個問題：

兩個節點之間是否存在相連的路徑

最短的距離是多少？這個“最短距離”的含義有很多種。

想象這么一個問題：你想在你的微信好友和好友的好友中尋找是否有人是一名消防員，該如何查找？并且盡可能這人和你的關系更近些。

迪克斯特拉算法

在圖中，搜索最小的“段”數可以用廣度優先算法，這就相當于默認每條邊的權重是相同的，如果每條邊的權重不同呢？那就需要用到迪克斯特拉算法。

概括來說，迪克斯特拉算法就是從起點開始，首先尋找最廉價的節點，更新其開銷并標記為已處理，然然后在未處理的節點中尋找開銷最小的節點，然后以此往復下去。

針對書中的這樣一個問題，我把題干提取出來：目標是用樂譜換鋼琴。現在樂譜可以免費換海報；海報加30元換吉他；海報加35元換架子鼓；樂譜加5元可以換唱片；唱片加15元換吉他；唱片加20元換架子鼓；吉他加20元換鋼琴；架子鼓加10元換鋼琴。

現在我用圖把這個關系表示出來：

可以看出這是一個加權圖，現在我們要使用迪克斯特拉算法尋找最短路徑。

最后的最低開銷表為：

節點

開銷

海報	0
唱片	5
吉他	20
鼓	25
鋼琴	35

父子節點表為：

父節點

子節點

樂譜	唱片
樂譜	海報
唱片	吉他
唱片	鼓
鼓	鋼琴

可以看出，最優的交換的路徑為：piano-drum-record-music

最低開銷為：35元

貝爾曼-福德算法

在迪克特拉斯算法的基礎上，我們考慮這樣一種情況，假如邊的權重存在負值。

在迪克特拉斯算法中，我們首先尋找最廉價的節點，更新其開銷，再尋找未處理節點中最廉價的節點，以此往復。

可能出現這樣一個情況：

在將海報標記為已處理后，開始處理唱片，但是唱片到海報的路徑使得海報的開銷更小，又將更新海報的開銷，但是海報已經標記為已處理。那么就會出現一些問題。假如繼續使用迪克特拉斯算法，最后的結果肯定是錯的，大家可以更改參數試一下。為了正確解決問題，這時需要使用貝爾曼-福德算法。

貪心算法

對于一些比較復雜的問題，使用一些算法不能簡單有效地解決，這時候往往會使用貪心算法：每步操作都選擇局部最優解，最終得到的往往就是全局最優解。這似乎是想當然的做法，但是很多情況下真的行之有效。當然，貪心算法不適用于所有場景，但是他簡單高效。因為很多情況并不需要追求完美，只要能找到大致解決問題的辦法就行了。

假如我們面對這么一個問題：假設我開了一家網店，在全國各省都有生意，現在面臨發快遞的問題，假設現在的基礎物流不是很完善，每家快運公司只能覆蓋很少幾個省，那么我該如何在覆蓋全國34個省級行政區的情況下，選擇最少的快運公司？

這個問題看似不難，其實很復雜。

現在假設有n家快運公司，那么全部的組合有2^n種可能。

N

2^N

10	1024
20	1048576
50	1125899906842624

可以看到，假如有50家快遞公司，我將要考慮1125千億種可能。可以看到，沒有算法能很快的計算出這個問題，那么我們可以使用貪心算法，求局部最優解，然后將最終得到的視為全局最優解。

那么在這個問題下如何使用貪心算法？核心在于什么是局部最優條件？可以這樣：

選擇一家覆蓋了最多未覆蓋省的公司。

重復第一步。

來源：果核里的圖靈

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總結

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