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编程问答

Lanchester战争模型：用可分离变量的微分方程占卜战事

發(fā)布時間：2023/12/4 编程问答 36 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了 Lanchester战争模型：用可分离变量的微分方程占卜战事小編覺得挺不錯的,現(xiàn)在分享給大家,幫大家做個參考.

看過國產(chǎn)的戰(zhàn)爭題材電視劇《亮劍》的各位老鐵一定熟悉李云龍集結重兵攻打縣城的故事。在故事中，李云龍利用人數(shù)上的優(yōu)勢對平安縣城進行了圍點打援，最后用二營長的意大利炮消滅了城樓上的鬼子官。

但是眾所周知，抗日時期中國軍隊的單兵作戰(zhàn)能力及武器配備均遠不如日本鬼子。因此最終的勝利是取決于李云龍部隊的數(shù)量優(yōu)勢。

于是矛盾產(chǎn)生了：當我方在單兵作戰(zhàn)效率上不如敵方時，我方需要獲得怎樣的數(shù)量優(yōu)勢已取得戰(zhàn)斗的勝利呢？

早在第一次世界大戰(zhàn)期間，英國工程師F.W Lanchester就利用戰(zhàn)斗中雙方人數(shù)的變化率提出了Lanchester戰(zhàn)爭模型用于預測戰(zhàn)爭結果。我相信李云龍在打縣城之前曾研究過這個模型。

（圖源:某貼吧）

//正經(jīng)的部分來了

模型建立：

首先，我們假設A軍在戰(zhàn)斗開始后的t時刻有x（t）人，B軍在戰(zhàn)斗開始后的t時刻有y（t）人。設，且每支軍隊的減員均由敵方攻擊造成，減員速率與敵方人數(shù)成正比。忽略增員部隊與非戰(zhàn)斗減員，我們可以根據(jù)雙方的減員速率列出如下的微分方程組

在上述微分方程組中，b與c分別代表B軍與A軍的單兵作戰(zhàn)效率，即每個戰(zhàn)士在單位時間內(nèi)干掉的敵軍數(shù)量。我們可以用這個量來代表士兵的“質量”或“效率”，顯然這個量與軍隊的武器水平，指揮員的指揮水平與戰(zhàn)士的單兵素質有關。

解原微分方程組，

由（2）/（1）得，?bydy=cxdx//注意這一步，我將含y項與含x項分別移入等號兩側

對兩邊同時求不定積分??????

????

兩邊同時求至t的定積分???????

稍作處理，?????????????

?????????????????????????????????????

得到??????????????????????? ??

下面開始分類討論：

我們可以由b，c，與雙方初始人數(shù)y₀，x₀計算出K值

情況1：

當K=0時，有by2=cx2，即當y=0（B軍全部陣亡）時，有x=0（A軍全部陣亡）。故存在一個時刻T，雙方戰(zhàn)平。

情況2：

當K>0時，有by2-cx2=K，此時當x=0（A軍全部陣亡）時，

此時B軍取得勝利。

情況3：

當K<0時，有cx2-by2=-K，此時當y=0（B軍全部陣亡）時，

此時A軍取得勝利。

由以上的討論我們可以發(fā)現(xiàn)，單兵質量上的優(yōu)勢對于整體作戰(zhàn)能力的貢獻是線性的，但是數(shù)量優(yōu)勢與對于整體作戰(zhàn)能力的貢獻是成平方關系的。這也就能解釋為什么在二戰(zhàn)中蘇聯(lián)紅軍在裝備，指戰(zhàn)員才能與單兵作戰(zhàn)能力均不如德軍的情況下能夠以自身絕對的數(shù)量優(yōu)勢戰(zhàn)勝敵軍。

??? （圖源：百度圖片）

作為一個熱愛計算機編程的高二狗，本能告訴我這種數(shù)學模型可以代入計算機由程序解決。于是我在學校上課期間（基本上是下課的時候），冒著被老班收掉MacBook Pro的風險寫下了如下Java小程序（不要告訴老師O(∩_∩)O謝謝）：

public class Army {

???private String name;

???private double quantity;

???private double warIndex;

???public Army(){

???????name="";

???????quantity=0;

??? }

???public Army(String n,double q,double i){

???????name=n;

???????quantity=q;

???????warIndex=i;

??? }

???public double getQuantity() {

???????return quantity;

??? }

???public double getWarIndex() {

???????return warIndex;

??? }

???public String getName() {

???????return name;

??? }

}

//以上我創(chuàng)建了一個“Army”類（請自動將所有的Index（指數(shù)）看成coefficient（系數(shù)））

//下面我需要一個客戶端，以進行相關運算

import java.util.Scanner;

public class Client{

???public static void main(String[] args){

???????double K;

???Scanner sc=new Scanner(System.in);

???????Scanner reader=new Scanner(System.in);

???System.out.println("Please input the name/quantity/warIndex of army1:");

???Army army1=new Army(sc.nextLine(),sc.nextDouble(),sc.nextDouble());

???????System.out.println("Please input the name/quantity/warIndex of army2:");

???????Army army2=newArmy(reader.nextLine(),reader.nextDouble(),reader.nextDouble());

???????K=army2.getWarIndex()*Math.pow(army2.getQuantity(),2)-army1.getWarIndex()*Math.pow(army1.getQuantity(),2);

???????if(K==0){

???????????System.out.println("It's a tie");

???????}

???????else if(K<0){

???????????double rest=Math.sqrt((-K)/army1.getWarIndex());

???????????System.out.println(army1.getName()+" "+"wins");

???????????System.out.println("The rest quantity of "+""+army1.getName()+":"+rest);

???????}

???????else if(K>0){

???????????double rest=Math.sqrt((K)/army2.getWarIndex());

???????????System.out.println(army2.getName()+" "+"wins");

???????????System.out.println("The rest quantity of "+""+army2.getName()+":"+rest);

???????}

??? }

}

//(噓！傳說李云龍在戰(zhàn)前用這個程序算了一卦)

下面我們來舉一個栗子：假設李云龍的八路軍有100人，鬼子有50人，設雙方單兵作戰(zhàn)效率均為1（客觀地說，當時不太可能），兩軍交戰(zhàn).則經(jīng)過程序處理后，運行得到下列結果：

Please input the name/quantity/warIndex ofarmy 1:

Balu

100

Please input the name/quantity/warIndex ofarmy 2:

Guizi

Balu wins

The rest quantity of? Balu:86.60254037844386

Process finished with exit code 0

即當鬼子被全殲時，八路軍剩余約87人（陣亡13人）

現(xiàn)在給太君們一個翻盤的機會：將每個鬼子的單兵作戰(zhàn)效率提升至八路軍的4倍（2的平方）

運行客戶端程序，得到下列結果：

Please input the name/quantity/warIndex ofarmy 1:

Balu

100

Please input the name/quantity/warIndex ofarmy 2:

Guizi

It's a tie

Process finished with exit code 0

Oops！即使擁有了4倍于對方的效率，可憐的鬼子還是贏不了，只能與八路打成平手。（請各位老鐵自己去看看《亮劍》，估計一下李云龍部隊的數(shù)量是投入戰(zhàn)斗的鬼子的幾倍）。

這樣一來，數(shù)量優(yōu)勢對于整體作戰(zhàn)能力的貢獻是成平方關系的規(guī)律得到了驗證。這個規(guī)律也就是蘭徹斯特平方定律。

利用這個數(shù)學模型，我們不用再去廟里給菩薩上香或是夜觀天象，而是可以理性地利用科學占卜戰(zhàn)事走向，根據(jù)敵我雙方實力做出合理的兵力分配，以獲得最大程度的作戰(zhàn)效益。

這里還有2個問題有待解決：如何確定敵我雙方的單兵作戰(zhàn)效率（即系數(shù)b，c）？如何最佳地規(guī)定單位時間的設置？對于后者，我作為一個沒有上過軍校或戰(zhàn)場的高中生并沒有資格發(fā)言。但是對于前者，我寫了一個程序，但是不確定正確與否，由于時間倉促加之老班太嚴，我并不能在交稿前對其進一步研究。

這里僅附上其源代碼，供評論區(qū)各位大佬批評指正。

import java.util.Scanner;

public class warIndex {

???public static void main(String[] args){

???????int n,counter;

???????double sum1,sum2;

???????sum1=0;

???????sum2=0;

???????System.out.println("Please input the quantity (in groups) ofdata");

???????Scanner reader=new Scanner(System.in);

???????n=reader.nextInt();

???????double[] warIndex1=new double[n+1];

???????double[] warIndex2=new double[n+1];

???????System.out.println("Please input the casualty of army1(group bygroup):");

???????Scanner rd=new Scanner(System.in);

???????double[] cas1=new double[n+1];