五分钟搞懂并查集
并查集是我暑假從高手那里學到的一招，覺得真是太精妙的設計了。來看一個實例，杭電1232暢通工程。首先在地圖上給你若干個城鎮，這些城鎮都可以看作點，然后告訴你哪些對城鎮之間是有道路直接相連的。最后要解決的是整幅圖的連通性問題。比如隨意給你兩個點，讓你判斷它們是否連通，或者問你整幅圖一共有幾個連通分支，也就是被分成了幾個互相獨立的塊。
像暢通工程這題，問還需要修幾條路，實質就是求有幾個連通分支。如果是1個連通分支，說明整幅圖上的點都連起來了，不用再修路了；如果是2個連通分支，則只要再修1條路，從兩個分支中各選一個點，把它們連起來，那么所有的點都是連起來的了；如果是3個連通分支，則只要再修兩條路……
以下面這組數據輸入數據來說明
4 2 1 3 4 3?
第一行告訴你，一共有4個點，2條路。下面兩行告訴你，1、3之間有條路，4、3之間有條路。那么整幅圖就被分成了1-3-4和2兩部分。只要再加一條路，把2和其他任意一個點連起來，暢通工程就實現了，那么這個這組數據的輸出結果就是1。好了，現在編程實現這個功能吧，城鎮有幾百個，路有不知道多少條，而且可能有回路。?
這可如何是好？我以前也不會呀，自從用了并查集之后，嗨，效果還真好！我們全家都用它！并查集由一個整數型的數組和兩個函數構成。數組pre[]記錄了每個點的前導點是什么，函數find是查找，join是合并。
int pre[1000 ];
int find(int x)? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?//查找根節點
{?
? ? int r=x;
? ? while ( pre[r ] != r )? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?//返回根節點 r
? ? ? ? ? r=pre[r ];
? ? int i=x , j ;
? ? while( i != r )? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?//路徑壓縮
? ? {
? ? ? ? ?j = pre[ i ];? ? ?// 在改變上級之前用臨時變量? j 記錄下他的值?
? ? ? ? ?pre[ i ]= r ;? ? //把上級改為根節點
? ? ? ? ?i=j;
? ? }
? ? return r ;
}
//判斷x y是否連通，如果已經連通，就不用管了 //如果不連通，就把它們所在的連通分支合并起,
void join(int x,int y)? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
{
? ? int fx=find(x),fy=find(y);
? ? if(fx!=fy)
? ? ? ? pre[fx ]=fy;
}
為了解釋并查集的原理，我將舉一個更有愛的例子。 話說江湖上散落著各式各樣的大俠，有上千個之多。他們沒有什么正當職業，整天背著劍在外面走來走去，碰到和自己不是一路人的，就免不了要打一架。但大俠們有一個優點就是講義氣，絕對不打自己的朋友。而且他們信奉“朋友的朋友就是我的朋友”，只要是能通過朋友關系串聯起來的，不管拐了多少個彎，都認為是自己人。
這樣一來，江湖上就形成了一個一個的群落，通過兩兩之間的朋友關系串聯起來。而不在同一個群落的人，無論如何都無法通過朋友關系連起來，于是就可以放心往死了打。但是兩個原本互不相識的人，如何判斷是否屬于一個朋友圈呢？
我們可以在每個朋友圈內推舉出一個比較有名望的人，作為該圈子的代表人物，這樣，每個圈子就可以這樣命名“齊達內朋友之隊”“羅納爾多朋友之隊”……兩人只要互相對一下自己的隊長是不是同一個人，就可以確定敵友關系了。
但是還有問題啊，大俠們只知道自己直接的朋友是誰，很多人壓根就不認識隊長，要判斷自己的隊長是誰，只能漫無目的的通過朋友的朋友關系問下去：“你是不是隊長？你是不是隊長？”這樣一來，隊長面子上掛不住了，而且效率太低，還有可能陷入無限循環中。
于是隊長下令，重新組隊。隊內所有人實行分等級制度，形成樹狀結構，我隊長就是根節點，下面分別是二級隊員、三級隊員。每個人只要記住自己的上級是誰就行了。遇到判斷敵友的時候，只要一層層向上問，直到最高層，就可以在短時間內確定隊長是誰了。
由于我們關心的只是兩個人之間是否連通，至于他們是如何連通的，以及每個圈子內部的結構是怎樣的，甚至隊長是誰，并不重要。所以我們可以放任隊長隨意重新組隊，只要不搞錯敵友關系就好了。于是，門派產生了。
下面我們來看并查集的實現。 int pre[1000]; 這個數組，記錄了每個大俠的上級是誰。大俠們從1或者0開始編號（依據題意而定），pre[15]=3就表示15號大俠的上級是3號大俠。如果一個人的上級就是他自己，那說明他就是掌門人了，查找到此為止。也有孤家寡人自成一派的，比如歐陽鋒，那么他的上級就是他自己。
每個人都只認自己的上級。比如胡青牛同學只知道自己的上級是楊左使。張無忌是誰？不認識！要想知道自己的掌門是誰，只能一級級查上去。 find這個函數就是找掌門用的，意義再清楚不過了（路徑壓縮算法先不論，后面再說）。
int find(int x)? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? //查找我（x）的掌門
{
? ? int r=x;? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?//委托 r 去找掌門
? ? while (pre[r ]!=r)? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? //如果r的上級不是r自己（也就是說找到的大俠他不是掌門 = =）
? ? r=pre[r ] ;? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?// r 就接著找他的上級，直到找到掌門為止。
? ? return? r ;? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?//掌門駕到~~~
}
再來看看join函數，就是在兩個點之間連一條線，這樣一來，原先它們所在的兩個板塊的所有點就都可以互通了。這在圖上很好辦，畫條線就行了。但我們現在是用并查集來描述武林中的狀況的，一共只有一個pre[]數組，該如何實現呢？?
還是舉江湖的例子，假設現在武林中的形勢如圖所示。虛竹小和尚與周芷若MM是我非常喜歡的兩個人物，他們的終極boss分別是玄慈方丈和滅絕師太，那明顯就是兩個陣營了。我不希望他們互相打架，就對他倆說：“你們兩位拉拉勾，做好朋友吧。”他們看在我的面子上，同意了。這一同意可非同小可，整個少林和峨眉派的人就不能打架了。這么重大的變化，可如何實現呀，要改動多少地方？
其實非常簡單，我對玄慈方丈說：“大師，麻煩你把你的上級改為滅絕師太吧。這樣一來，兩派原先的所有人員的終極boss都是師太，那還打個球啊！反正我們關心的只是連通性，門派內部的結構不要緊的?！毙纫宦牽隙ɑ鸫罅?#xff1a;“我靠，憑什么是我變成她手下呀，怎么不反過來？我抗議！”抗議無效，上天安排的，最大。反正誰加入誰效果是一樣的，我就隨手指定了一個。這段函數的意思很明白了吧？
void join(int x,int y)? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?//我想讓虛竹和周芷若做朋友
{
? ? int fx=find(x),fy=find(y);? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? //虛竹的老大是玄慈，芷若MM的老大是滅絕
? ? if(fx!=fy)? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? //玄慈和滅絕顯然不是同一個人
? ? pre[fx ]=fy;? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? //方丈只好委委屈屈地當了師太的手下啦
}
再來看看路徑壓縮算法。建立門派的過程是用join函數兩個人兩個人地連接起來的，誰當誰的手下完全隨機。最后的樹狀結構會變成什么胎唇樣，我也完全無法預計，一字排開也有可能。這樣查找的效率就會比較低下。最理想的情況就是所有人的直接上級都是掌門，一共就兩級結構，只要找一次就找到掌門了。哪怕不能完全做到，也最好盡量接近。這樣就產生了路徑壓縮算法。
?設想這樣一個場景：兩個互不相識的大俠碰面了，想知道能不能揍。 于是趕緊打電話問自己的上級：“你是不是掌門？” 上級說：“我不是呀，我的上級是誰誰誰，你問問他看看?！?一路問下去，原來兩人的最終boss都是東廠曹公公。 “哎呀呀，原來是記己人，西禮西禮，在下三營六組白面葫蘆娃!” “幸會幸會，在下九營十八組仙子狗尾巴花！” 兩人高高興興地手拉手喝酒去了。 “等等等等，兩位同學請留步，還有事情沒完成呢！”我叫住他倆。 “哦，對了，還要做路徑壓縮。”兩人醒悟。?
白面葫蘆娃打電話給他的上級六組長：“組長啊，我查過了，其習偶們的掌門是曹公公。不如偶們一起及接拜在曹公公手下吧，省得級別太低，以后查找掌門麻環。” “唔，有道理?！?白面葫蘆娃接著打電話給剛才拜訪過的三營長……仙子狗尾巴花也做了同樣的事情。?
這樣，查詢中所有涉及到的人物都聚集在曹公公的直接領導下。每次查詢都做了優化處理，所以整個門派樹的層數都會維持在比較低的水平上。路徑壓縮的代碼，看得懂很好，看不懂也沒關系，直接抄上用就行了?？傊鶎崿F的功能就是這么個意思。
下面給出杭電1232暢通工程的解題代碼，僅供大家參考，使用并查集來解決問題。
#include<iostream>??
using namespace std;??
??
int? pre[1050];??
bool t[1050];? ? ? ? ? ? ? ?//t 用于標記獨立塊的根結點??
??
int Find(int x)??
{??
? ? int r=x;??
? ? while(r!=pre[r])??
? ? ? ? r=pre[r];???
? ? int i=x,j;??
? ? while(pre[i]!=r)??
? ? {??
? ? ? ? j=pre[i];??
? ? ? ? pre[i]=r;??
? ? ? ? i=j;??
? ? }??
? ? return r;??
}??
??
void mix(int x,int y)??
{??
? ? int fx=Find(x),fy=Find(y);??
? ? if(fx!=fy)??
? ? {??
? ? ? ? pre[fy]=fx;??
? ? }??
}? ?
??
int main()??
{??
? ? int N,M,a,b,i,j,ans;??
? ? while(scanf("%d%d",&N,&M)&&N)??
? ? {??
? ? ? ? for(i=1;i<=N;i++)? ? ? ? ? //初始化? ?
? ? ? ? ? ? pre[i]=i;??
? ? ? ? for(i=1;i<=M;i++)? ? ? ? ? //吸收并整理數據? ?
? ? ? ? {??
? ? ? ? ? ? scanf("%d%d",&a,&b);??
? ? ? ? ? ? mix(a,b);??
? ? ? ? }??? ? ? ?
? ? ? ? memset(t,0,sizeof(t));??
? ? ? ? for(i=1;i<=N;i++)? ? ? ? ? //標記根結點??
? ? ? ? {??
? ? ? ? ? ? t[Find(i)]=1;??
? ? ? ? }??
? ? ? ? for(ans=0,i=1;i<=N;i++)??
? ? ? ? ? ? if(t[i])??
? ? ? ? ? ? ? ? ans++;??
? ? ? ? printf("%d\n",ans-1);??
? ? }??
? ? return 0;??
}
來源：laserss
http://blog.csdn.net/dellaserss/article/details/7724401/
總結
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