將正整數n表示為一系列正整數之和，

n=n1+n2+n3+n4+......+nk （其中，n1>=n2>=n3>=n4........>=nk>0,k>=1）

正整數n的這種表示成為正整數n的劃分。正整數n的不同劃分個數成為正整數n的劃分數，記作p（n）。

例如，正整數6有如下11種劃分:

6;

5+1;

4+2,4+1+1;

3+3,3+2+1,3+1+1+1;

2+2+2,2+2+1+1,2+1+1+1+1;

1+1+1+1+1+1;

其實這種問題可以認為是把n劃分為 加數小于或等于某個數的劃分，在這里把這個數成為m。例如，對6的劃分可以認作是將6劃分為加數小于等于6的劃分，因為6的加數確實小于等于6，為什么要引入這個m呢，是因為我們發現，從這個角度思考，比較容易求解。我們將劃分的種類數記為q（n,m）

在遞歸里，要對形參進行判斷

（1）當n=1時 q(1,m)：表示是對1的劃分，那么只有一種劃分方式 1

（2）當m=1時q(n,1)：當m=1時其實就是把讓所有加數小于等于1，那就是所有加數都是1咯（不考慮負數），當然也只有一種劃分方式

（3）當n==m時q(n,n)：此時就是對n的劃分出來的數沒有限制，默認限制就是不大于n，此時劃分的總類數要分兩種情況才比較好解決：

1.劃分出來的數包含n（或m，因為n==m）:那只有一種方式 比如 6的劃分 只有 6;一種方式2.劃分出來的數不包含n（或m，因為n==m）:就可以認為是將6劃分出來的數都小于6，其實就是都小于或等于5,接下來 其實就是求出來q(n,n-1)或者是q(n,m-1),此時n>m-1,放到遞歸方程里就是求解q(n,m) n>m綜合起來 q(n,n)=1+q(n,m-1)

（4）當n>m時：當遇到這個問題時，其實可以看做是對n的劃分有了條件，就是所有的劃分出來的數小于m，在上文中，6有11種劃分方式，那是沒有對6劃分出來的數進行限制，當要使劃分出來的數都小于某個數時比如5時，那就不是11種了。

5+1;

4+2,4+1+1;

3+3,3+2+1,3+1+1+1;

2+2+2,2+2+1+1,2+1+1+1+1;

1+1+1+1+1+1;

這個時候分兩種情況：包含m和不包含m ：

不包含m就是：

4+2,4+1+1;

3+3,3+2+1,3+1+1+1;

2+2+2,2+2+1+1,2+1+1+1+1;

1+1+1+1+1+1;這些情況，其實就是求6的劃分出來的數小于等于4的情況,放到遞歸方程就是 q(n,m-1)

包含m就是：

5+1;

這個時候，確定這種劃分數量的時候m不再是主角，我們只要求出來n-m的劃分情況就行了，因為此時的m的劃分情況，取決于n-m。 比如包含m=5的劃分情況就是 6-5=1的情況，比如包含4的劃分情況就是求6-4=2,2的沒有限制的劃分情況。放到遞歸方程里面就是q(n-m,m)

（5）q（n,m）n<m:n<m時，比如n=6,m=7 求得就是6得劃分數小于等于7的情況，其實就是求解小于等于6，故此時情況就是求解q(n,n);

根據以上分析：

q( n, n ) = 1, 當 n ==1;

q( n, n ) = 1, 當m == 1;

q( n, n ) = q( n,n ) , 當n < m;

q( n, n ) = q( n, m-1) +1 , 當n == m;

q( n, n ) = q( n - m, m ) + q( n , m -1) , 當n > m>0;

#include<iostream> using namespace std; int q(int n,int m) {if((n<0)||(m<0))return 0;if((n==1)||(m==1))return 1;if(n<m)return q(n,n);if(n==m)return (1+q(n,m-1));if(1<m<n)return q(n,m-1)+q(n-m,m); } int main() {int n;cout<<"輸入需要來解決的整數劃分問題的數字："<<endl;cin>>n; cout<<n<<"的整數劃分的個數一共有"<<q(n,n);return 0;}

總結

以上是生活随笔為你收集整理的算法设计与分析——分治与递归——整数划分问题的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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