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在不考慮柯西序列的情況下：

.

1.00000000000000000……-0.9999999…….結(jié)果為 0.000…，也就是后面的 0 無限循環(huán)。這兩個數(shù)目在這里是無限循環(huán)小數(shù)，小數(shù)點后五位之后還會一直填上 0，始終無法找到最后一位來填上 1。

1.000… - 0.999… = 0.000… = 0，故 1 = 0.999… 。

這假設了 0.999…沒有“最后的9”、這些無限循環(huán)小數(shù)的小數(shù)點后的位數(shù)為可列的(可以由第一個數(shù)位一個位一個位數(shù)下去而于有限次數(shù)到任一個數(shù)位)(這已得出 0.999…沒有“最后的9”)、 1.000… - 0.999…的結(jié)果存在小數(shù)表示式。運算結(jié)果將沒有“最后的1”，所以1與0.999…沒有差值。

位數(shù)操作

另外一種證明更加適用于其它循環(huán)小數(shù)。當一個小數(shù)乘以10時，其數(shù)字不變，但小數(shù)點向右移了一位。因此10 × 0.999…等于9.999…，它比原來的數(shù)大9。

考慮從9.999…減去0.999…。我們可以一位一位地減；在小數(shù)點后的每一位，結(jié)果都是9 - 9，也就是0。但末尾的零并不能改變一個數(shù)，所以相差精確地是9。最后一個步驟用到了代數(shù)。設0.999… = c，則10c ? c = 9，也就是9c = 9。等式兩端除以9，便得證：c = 1。用一系列方程來表示，就是

c=0.999...

10c=9.999...

10c-c=9.999...-0.999...

9c=9

c=1

0.999...=1

以上兩個證明中的位數(shù)操作的正確性，并不需要盲目相信，也無需視為公理；它是從小數(shù)和所表示的數(shù)之間的基本關(guān)系得出的。這個關(guān)系，可以用幾個等價的方法來表示，已經(jīng)規(guī)定了0.999…和1.000…都表示相同的數(shù)。

實分析

由于0.999…的問題并不影響數(shù)學的正式發(fā)展，因此我們可以暫緩進行研究，直到證明了實數(shù)分析的標準定理為止。其中一個要求，是要刻劃所有能表示成小數(shù)的實數(shù)的特征，由一個可選擇的符號、構(gòu)成整數(shù)部分的有限個數(shù)字、一個小數(shù)點，以及構(gòu)成小數(shù)部分的一系列數(shù)字組成。為了討論0.999…的目的，我們可以把整數(shù)部分概括為b0，并可以忽略負號，這樣小數(shù)展開式就具有如下的形式：

小數(shù)部分與整數(shù)部分不一樣，整數(shù)部分只能有有限個數(shù)字，而小數(shù)部分則可以有無窮多個數(shù)字。這一點是至關(guān)重要的。這是一個進位制，所以500中的5是50中的5的十倍，而0.05中的5則是0.5中的5的十分之一。

無窮級數(shù)和數(shù)列

也許小數(shù)展開式最常見的發(fā)展，是把它們定義為無窮級數(shù)的和。一般地：

對于0.999...來說，我們可以使用等比級數(shù)的有力的收斂定理：

如果|r|<1，則

由于0.999...是公比為的等比級數(shù)的和，應用以上定理，很快就可以得出證明了：

，

這個證明(實際上是10等于9.999...)早在1770年就在瑞士數(shù)學家萊昂哈德·歐拉的作品《Elements of Algebra》(《代數(shù)的要素》)中出現(xiàn)了。

等比級數(shù)的和本身，是一個比歐拉還要早的結(jié)果。一個典型的18世紀的推導用到了逐項的操作，類似于以上的代數(shù)證明。直到1811年，Bonnycastle的教科書《An Introduction to Algebra》(《代數(shù)的介紹》)依然使用這種等比級數(shù)的方法來證明對0.999...使用的策略是正當?shù)摹Ｔ?9世紀，這種隨隨便便的求和方法遭到了反對，這樣便導致了現(xiàn)今仍然占有支配地位的定義：一個無窮級數(shù)的和定義為數(shù)列的部分和的極限。該定理的一個對應的證明，明確地把這個數(shù)列計算出來了；這可以在任何一本以證明為基礎的微積分或數(shù)學分析的教科書中找到。

對于數(shù)列(x0，x1，x2，...)來說，如果當n增大時，距離|x?xn|變得任意地小，那么這個數(shù)列就具有極限x。0.999...=1的表述，可以用極限的概念來闡釋和證明：

最后一個步驟——通常由實數(shù)的阿基米德原理來證實。這個以極限為基礎的對0.999...的看法，有時會用比較引人注意但不太精確的話語來表達。例如，在1846年的美國教科書《大學算術(shù)》(《The University Arithmetic》)中有這么一句：“0.999+，到無窮遠處等于1，這是因為每加上一個9，都會使它的值更加接近于1”(.999+,continuedto infinity =1, because every annexation of a 9 brings the value closer to 1)；在1895年的美國教科書《Arithmeticfor Schools》(《學校算術(shù)》)中也有：“...如果有非常多的9，那么1和0.99999...的差就小得難以想像了”(“...when a large number of 9s is taken, the difference between 1 and.99999... becomes inconceivably small”)。這種啟發(fā)式的教學法，常常被學生們誤解為0.999...本身就小于1。

區(qū)間套和最小上界

總結(jié)

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