再談遞歸與循環

• 在某些算法中，可能需要重復計算相同的問題，通常我們可以選擇用遞歸或者循環兩種方法。遞歸是一個函數內部的調用這個函數自身。循環則是通過設置計算的初始值以及終止條件，在一個范圍內重復運算。比如，我們求累加1+2+3+…n，這個既可以用循環也可以用遞歸

/*** 遞歸實現* */public Long addFrom1N(long n){return n <= 0 ? 0 : n + addFrom1N(n-1);}/*** 循環實現* */public long addForm1N_interative(long n){if(n <=0){return 0;}long result= 0;for (long i = 1; i < n; i++) {result +=i;}return result;}

• 如上案例實現，遞歸代碼簡潔，循環代碼比較多，同樣的在之前的文章二叉樹實現原理在樹的前序，中序，后序遍歷的代碼中，遞歸實現也明顯比循環實現要簡潔的多，所以我們盡量用遞歸來表達我們的算法思想。

• 遞歸的缺點：

  • 遞歸優點顯著，由于是函數自身的調用，而函數調用有時間與空間的消耗：每一次調用都需要內存棧分配空間保存參數返回地址以及臨時變量，而往棧里壓入與彈出數據也需要時間，那就自然遞歸實現的效率比同等條件下循環要低下了
  • 另外遞歸中可能有很多計算是重復的，這個比較致命，對性能帶來很大影響。
  • 除了效率，遞歸還有可能出現調用棧溢出問題。因為每個進程棧空間有限，當遞歸次數太多，超出棧容量，導致棧溢出。

案例分析：斐波那契數列

• 題目：寫一個函數，輸入n，求斐波那契（Fibonacci）數列的第n項。斐波那契數列的定義如下：

f(n) = f(n-1) + f(n-2) , n>1 f(n) = 0 , n=0 f(n) = 1 , n=1

斐波那契數列遞歸實現

• 記得譚浩強版本的C語言中講解遞歸的時候就是用的斐波那契數列的案例，所以對這個問題非常的熟悉。看到之后自然就能提供如下代碼：

/*** f(n) = f(n-1) + f(n-2)* n > 2* n=1 : f(1) = 1* n=2 : f(2) = 1* f(3) = f(1) + f(2) = 1 + 1 = 2;*/public static Long getFibonacci(int n) {if (n <= 0L) {return 0L;}if (n == 1L || n == 2L) {return 1L;}return getFibonacci(n - 1) + getFibonacci(n - 2);}

• 教科書上只是為了講解遞歸，這個案例正好比較合適，并不表示是最優解，其實以上方法是一種存在嚴重效率問題的解法，如下分析：
  • 我們求解f(10) 需要求解f(9)，f(8)，繼而需要先求解f(8)，f(7)，…我們可以用樹形結構來說明這種依賴求解關系：

• 如上圖中分解，樹中很多節點是重復的，而且重復的節點數會隨著n的增大指數級別的增大，我們可以用以上算法測試第100項的值，慢的你懷疑人生。

我認為的最優解：動態規劃（循環實現）

• 改進方法并不復雜，上述代碼中是因為大量重復計算，我們只要避免重復計算就行了。比如我們將已經計算好的數列保存到一個臨時變量，下次計算直接查找前一次計算的結果，就無須重復計算之前的值。
• 例如我們從下往上算，根據f(0) 和f(1) 求f(2)， 繼續f(1)，f(2) 求f(3)，依次類推得出第n項。很容易得出解。而且時間復雜度控制在O(n)
• 如下代碼實現：

/*** 動態規劃求值* */public static Long getFibonacciGreat(int n) {if (n <= 0L) {return 0L;}if (n == 1L || n == 2L) {return 1L;}Long answer = 1L;Long last = 1L;Long nextLast = 1L;for (Long i = 0L; i < n - 2; i++) {answer = last + nextLast;nextLast = last;last = answer;}return answer;}

時間復雜度更優O（logn）但是復雜度過于高的解法

• 一般以上解法是最優解，但是如果在追求時間復雜度最優的算法場景下，我們有更快的O(logn)的算法。由于這種算法需要一個比較生僻的數學公式（離散數學沒學好的代價），因此很少有人會去寫這種算法，此處我們只介紹該算法，不遞推數學公式（不會），如下：
• 先介紹數學公式如下：

$$\left[\begin{array}{cc}f(n)& f(n?1)\\ f(n?1)& f(n?2)\end{array}\right]={\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]}^{n?1}$$

• 如上數學公式可以用數學歸納法證明，有了這個公式我們只需要求如下矩陣的值，既可以的到f(n)的值，
  $${\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]}^{n?1}$$

• 那么我們只需要求，基礎矩陣的乘方問題。如果只是簡單的從0~n循環，n次方需要n次運算，那么時間復雜度還是O(n)，并不比之前的方法快，但是我們可以考慮乘方的如下性質
  $$\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$$

• 情況一
  $$a^n=a^{n/2}?a^{n/2},n為偶數$$

• 情況二
  $$a^n=a^{(n?1)/2}?a^{(n?1)/2}?a,n為奇數$$

• 從上面公式我們看出，要求n次方，我們可以先求n/2次方，再把n/2次方平凡就可以。這可以用遞歸的思路來實現。

• 我們用如下方式實現，因為存在矩陣的計算，用代碼實現比較繁瑣，如下：

/*** 矩陣對象定義* @author liaojiamin* @Date:Created in 15:21 2021/3/16*/ public class Matrix2By2 {private long m_00;private long m_01;private long m_10;private long m_11;public Matrix2By2(){this.m_00 = 0;this.m_01 = 0;this.m_10 = 0;this.m_11 = 0;}public Matrix2By2(long m00, long m01, long m10, long m11){this.m_00 = m00;this.m_01 = m01;this.m_10 = m10;this.m_11 = m11;}public long getM_00() {return m_00;}public void setM_00(long m_00) {this.m_00 = m_00;}public long getM_01() {return m_01;}public void setM_01(long m_01) {this.m_01 = m_01;}public long getM_10() {return m_10;}public void setM_10(long m_10) {this.m_10 = m_10;}public long getM_11() {return m_11;}public void setM_11(long m_11) {this.m_11 = m_11;} }*** 獲取斐波那契數列* @author liaojiamin* @Date:Created in 12:06 2021/2/2*/ public class Fibonacci {/*** 矩陣乘法求值* */public static Matrix2By2 matrixMultiply(Matrix2By2 matrix1, Matrix2By2 matrix2){return new Matrix2By2(matrix1.getM_00()*matrix2.getM_00() + matrix1.getM_01()*matrix2.getM_10(),matrix1.getM_00()*matrix2.getM_01() + matrix1.getM_01()*matrix2.getM_11(),matrix1.getM_10()*matrix2.getM_00() + matrix1.getM_11()*matrix2.getM_10(),matrix1.getM_10()*matrix2.getM_01() + matrix1.getM_11()*matrix2.getM_11());}/*** 矩陣乘方實現* */public static Matrix2By2 matrixPower(int n){if( n<= 0){return new Matrix2By2();}Matrix2By2 matrix = new Matrix2By2();if(n==1){matrix = new Matrix2By2(1,1,1,0);}else if(n%2 == 0){matrix = matrixPower(n/2);matrix = matrixMultiply(matrix, matrix);}else if(n%2 == 1){matrix = matrixPower((n-1)/2);matrix = matrixMultiply(matrix, matrix);matrix = matrixMultiply(matrix, new Matrix2By2(1,1,1,0));}return matrix;}public static long getFibonacciBest(int n){if(n == 0){return 0;}if (n <= 0) {return 0;}if (n == 1) {return 1;}Matrix2By2 powerNminus2 = matrixPower(n-1);return powerNminus2.getM_00();}public static void main(String[] args) {System.out.println("-------------------------1");System.out.println(System.currentTimeMillis()/1000);System.out.println(getFibonacci(40));System.out.println(System.currentTimeMillis()/1000);System.out.println("-------------------------2");System.out.println(System.currentTimeMillis()/1000);System.out.println(getFibonacciGreat(40));System.out.println(System.currentTimeMillis()/1000);System.out.println("-------------------------3");System.out.println(System.currentTimeMillis()/1000);System.out.println(getFibonacciBest(40));System.out.println(System.currentTimeMillis()/1000);} }

• 時間復雜度：設為f(n)，其中n 是矩陣的冪次。從上述代碼中不難得出f(n) = f(n/2) + O(1) 。利用主定理，可以解得f(n) = O(${\log }^n$)

• 空間復雜度：每一次遞歸調用時新建了一個變量matrixPower(n/2)。由于代碼需要執行${\log }_2^n$次，即遞歸深度是${\log }_2^n$ ，所以空間復雜度是O(${\log }^n$)

解法比較

• 用不同方法求解斐波那契數列的時間效率有很大區別。第一種基于遞歸的解法，時間復雜度效率低，時間開發中不可能會用
• 第二種將遞歸算法用循環實現，極大提高效率
• 第三種方法將斐波那契數列轉換炒年糕矩陣n次方求解，少有這種算法出現，此處只是提出這種解法而已

變種題型

• 處理斐波那契數列這種問題，還有不少算法原理與斐波那契數列是一致的，例如：

• 題目：一只青蛙一次可以跳一個臺階，也可以跳兩個臺階。求解青蛙跳上n個臺階有多少中跳法

• 分析

  • 最簡單情況，如果總共只有一節臺階，只有一種解法，如果有兩個臺階，有兩種跳法，
  • 一般情況，n級臺階看出是n的函數，記f(n), 當 n> 2 時候，第一次條就有兩種不同選擇，
  • 第一種跳1級，此時后面的臺階的跳法等于f(n-1) ,那么總的跳法是 1 * f(n-1) = f(n -1)
  • 第二種跳2級，此時后面的臺階跳法等于f(n-2) ,那么總的跳法是 1*f(n-2) = f(n-2)
  • 所以n級臺階的不同跳法是 (n) = f(n-1) + f(n-2)，實際上就是斐波那契數列

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的数据结构与算法--再谈递归与循环（斐波那契数列）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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