B樹(shù)

• 前幾篇文中討論的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)我們都是假設(shè)所有的數(shù)據(jù)都存儲(chǔ)在計(jì)算機(jī)的主存中。可說(shuō)總要那么海量的數(shù)據(jù)需要通過(guò)個(gè)中數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)去存儲(chǔ)，我們不可能有這么多內(nèi)存區(qū)存放這些數(shù)據(jù)。那么意味著我們需要將他們放磁盤。所以這個(gè)時(shí)候范問(wèn)時(shí)間復(fù)雜度O決定了他是否能適合存儲(chǔ)磁盤，大O模型不適用于磁盤存儲(chǔ)。游戲規(guī)則變了。

• 在磁盤中操作速度和CPU內(nèi)存計(jì)算速度相差甚遠(yuǎn)。

  • 例如一臺(tái)機(jī)器每秒可以執(zhí)行5億條指令。
  • 磁盤讀寫操作依賴磁盤的機(jī)械運(yùn)動(dòng)，磁盤轉(zhuǎn)動(dòng)，磁針移動(dòng)，也許磁盤7200RPM的轉(zhuǎn)速，1轉(zhuǎn)大約1/120秒，約8.3ms，我們就估算是8.3
  • 每秒大概120次磁盤訪問(wèn)
  • 但是1分鐘7200轉(zhuǎn)比起每秒5億簡(jiǎn)直不是一個(gè)量級(jí)，比值相當(dāng)于 40W：1
  • 方法是盡量減少磁盤的操作，寧愿大量計(jì)算
  • 對(duì)于樹(shù)來(lái)說(shuō)，一個(gè)節(jié)點(diǎn)存在幾個(gè)子節(jié)點(diǎn)，我們?cè)趦?nèi)存中通過(guò)指針尋址，但是在磁盤中需要機(jī)械運(yùn)動(dòng)尋址

案例

• 我們通過(guò)一個(gè)案例來(lái)結(jié)束典型查找樹(shù)的執(zhí)行方式：
  • 假設(shè)要訪問(wèn)廣東市所有人的出行記錄。假設(shè)只有1kw項(xiàng)數(shù)據(jù)。每個(gè)關(guān)鍵字32字節(jié)（是這個(gè)人的名字+唯一id），而一個(gè)記錄存儲(chǔ)這N個(gè)信息是256個(gè)字節(jié)。假設(shè)這些1kw數(shù)據(jù)不能都存儲(chǔ)進(jìn)主內(nèi)存
  • 更具如上計(jì)算，我們

解決方法

• 不平衡的二叉查找樹(shù)解決如上問(wèn)題完全不可取，最壞情況他有線性深度，從而可能需要1kw次磁盤的范問(wèn)。平均的話一次成功的查找也需要1.38logN次范圍，由于log10000000 =24 ，1.38*24 = 32/6 = 5秒。AVL樹(shù)多少要好一點(diǎn)，1.44logN是最壞情況，平均訪問(wèn)是logN，擇優(yōu)AVL計(jì)算平均25次磁盤查詢一個(gè)數(shù)據(jù)，4秒左右

• 要減少磁盤范問(wèn)次數(shù)，比如減到3,4。我們需要更加復(fù)雜的程序。因?yàn)闄C(jī)器指令相對(duì)機(jī)械操作相當(dāng)于不耗時(shí)。以上分析我們知道二叉樹(shù)不可行，減少樹(shù)層級(jí)增加節(jié)點(diǎn)分支的方式來(lái)解決。

• 31個(gè)節(jié)點(diǎn)的完美二叉樹(shù)有5層，31個(gè)節(jié)點(diǎn)的5叉樹(shù)只有3層

• 一個(gè)完全二叉樹(shù)的高度大概是log2^N，而一顆完全M叉樹(shù)的高度大概是LogM^N

• 我們建立與二叉樹(shù)類似的M叉查找樹(shù)，二叉樹(shù)中我們需要一個(gè)key來(lái)決定走左樹(shù)還是右樹(shù)，M叉樹(shù)我們需要M-1個(gè)key來(lái)決定

• 同時(shí)避免M叉樹(shù)退化成鏈表，我們需要給一個(gè)平衡條件，限制M叉樹(shù)退化到二叉樹(shù)，那就是B樹(shù)如下性質(zhì)

• 階為M的B樹(shù)是一顆具有下列特性的樹(shù)：

  • 數(shù)據(jù)項(xiàng)存儲(chǔ)在葉子節(jié)點(diǎn)上
  • 非葉子節(jié)點(diǎn)存儲(chǔ)直到M-1個(gè)關(guān)鍵字用來(lái)指示搜索方向；關(guān)鍵字i代表子樹(shù)i+1中最小關(guān)鍵字
  • 數(shù)的根節(jié)點(diǎn)如果不是葉子節(jié)點(diǎn)，那么他子節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)必須在2~M之間
  • 除了根節(jié)點(diǎn)外，所有非葉子節(jié)點(diǎn)的子節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)必須在M/2~M個(gè)之間
  • 所有葉子節(jié)點(diǎn)都在相同的深度上，并且有L/2和L個(gè)數(shù)據(jù)項(xiàng)目，L個(gè)數(shù)之后確認(rèn)

• 如下圖5階B樹(shù)的案例，所有非葉子節(jié)點(diǎn)的兒子樹(shù)都在3~5之間（5/2 ~ 5 取整 3-5），那么他們有2-4個(gè)關(guān)鍵字；根可能只有2個(gè)子節(jié)點(diǎn)。這里我們L=5，所有葉子節(jié)點(diǎn)的數(shù)據(jù)項(xiàng)則是（5/2 ~5 取整 3-5 之間）

  • 要求節(jié)點(diǎn)半滿保證B樹(shù)不退化到簡(jiǎn)單二叉樹(shù)
    

B樹(shù)結(jié)構(gòu)分析

• 我們根據(jù)所存儲(chǔ)的項(xiàng)的大小選擇M與L的大小，還是上面的案例，我們假設(shè)一個(gè)區(qū)塊的磁盤大小是8192Byte，
• 每個(gè)關(guān)鍵字32Byte，在一顆M階B數(shù)中，有M-1個(gè)關(guān)鍵字那么總數(shù)是32（M-1），再加上M個(gè)分支（指針int型4Byte），總數(shù)則為32（M-1）+4M = 36M-32
• 那么一個(gè)片區(qū)8192可以存儲(chǔ)的最大節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)是8192= (36M-32) , M = 228階，也就是我們每一層有228個(gè)分支
• 以上案例中條件說(shuō)一個(gè)記錄256Byte，8192/256 = 32 ，一個(gè)片區(qū)可以存儲(chǔ)32個(gè)記錄，我們選擇L=32，這樣一個(gè)子節(jié)點(diǎn)中所有數(shù)據(jù)可以在同一個(gè)片區(qū)（盡量一次磁盤操作可以讀完）
• 這樣我們保證了每個(gè)葉子節(jié)點(diǎn)有16~32個(gè)數(shù)據(jù)記錄以及每個(gè)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)至少有228/2 = 114 中分支方式
• 那么1kw個(gè)數(shù)據(jù)最多存儲(chǔ)的葉子節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù) 10000000/16 = 625000 個(gè)葉子節(jié)點(diǎn)中
• 層級(jí)最少情況，每一層都是滿分支（228），625000/228 = 224 /228 = 1，最少的情況第二次就是葉子節(jié)點(diǎn)
• 層級(jí)最多情況，每一層都是半分支（228/2=114），625000/114 = 5482.4/114=48/1154 = 1 ，最多情況第四層是葉子節(jié)點(diǎn)
• 如上分析，最壞情況訪問(wèn)次數(shù)近似log(m/2)^N給出

構(gòu)造B樹(shù)–添加節(jié)點(diǎn)，刪除節(jié)點(diǎn)

插入節(jié)點(diǎn)

• 我們按照上面圖片中的案例，需要將57 插入到圖中的B樹(shù)，沿著樹(shù)向下查找他不在樹(shù)中，我們把它作為第五項(xiàng)數(shù)據(jù)添加到第對(duì)應(yīng)的葉子節(jié)點(diǎn)中如下圖：
  

方法一

• 如上更新數(shù)據(jù)分為三步：
  • 第一遍歷B樹(shù)，找到插入數(shù)據(jù)的對(duì)應(yīng)位置
  • 讀取樹(shù)葉節(jié)點(diǎn)中數(shù)據(jù)并且重排樹(shù)葉節(jié)點(diǎn)中數(shù)據(jù)
  • 將重排的數(shù)據(jù)寫入樹(shù)葉節(jié)點(diǎn)
• 與磁盤的操作相比，這些邏輯排列時(shí)間幾乎可以忽略不計(jì)，以上是簡(jiǎn)單的模式，因?yàn)楦臉?shù)葉節(jié)點(diǎn)并沒(méi)有被裝滿，現(xiàn)在我們?cè)诓迦?5 到上圖中。
  • 55要插入的那個(gè)葉子節(jié)點(diǎn)已經(jīng)滿，有L+1項(xiàng)數(shù)據(jù)，我們需要將他分成兩個(gè)葉子節(jié)點(diǎn)，這兩葉子節(jié)點(diǎn)能保證所有需要的記錄的最小個(gè)數(shù)，每一個(gè)葉子節(jié)點(diǎn)3個(gè)項(xiàng)（需要兩次磁盤范問(wèn)）
  • 接著我們需要更新父節(jié)點(diǎn)，將最小的值添加到父節(jié)點(diǎn)中（需要一次寫入的磁盤操作），這種方式是更具上面L/2的規(guī)則執(zhí)行
  • 雖然分離節(jié)點(diǎn)是耗時(shí)的，至少需要2次磁盤操作，但是很少發(fā)生，比如我們上面L=32 時(shí)候每次節(jié)點(diǎn)分裂時(shí)候都有16 或者17 項(xiàng)數(shù)據(jù)的兩片葉子節(jié)點(diǎn)，那么我們需要之后的17次添加操作才會(huì)有一次分裂

• 如上圖情況，當(dāng)一個(gè)非葉子節(jié)點(diǎn)分裂，父節(jié)點(diǎn)得到一個(gè)新的子節(jié)點(diǎn)，父節(jié)點(diǎn)也需要增加一個(gè)項(xiàng)，如果父節(jié)點(diǎn)此時(shí)也達(dá)到分裂閥值，則需要繼續(xù)向上分裂直到達(dá)到根節(jié)點(diǎn)。如果分裂根就得到兩個(gè)根，這顯然不現(xiàn)實(shí)，我們則創(chuàng)建一個(gè)新根，這個(gè)根以分裂得到的兩個(gè)新根為子節(jié)點(diǎn)，所以我們的根節(jié)點(diǎn)的子節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)設(shè)置在2~M個(gè)是有這個(gè)原因的。
• 這種方式也是B樹(shù)增加高度的唯一方式

方法二

• 在相鄰節(jié)點(diǎn)有空間時(shí)候，將一個(gè)子節(jié)點(diǎn)交給鄰節(jié)點(diǎn)，例如將上圖中29 節(jié)點(diǎn)插入到B樹(shù)中，我們可以把32移到 下一片樹(shù)葉而騰出一個(gè)空間來(lái)，這種方法要求對(duì)父節(jié)點(diǎn)進(jìn)行修改，因?yàn)檫@些關(guān)鍵字也會(huì)受影響，他趨向于是的節(jié)點(diǎn)達(dá)到滿節(jié)點(diǎn)，更加節(jié)省空間。

刪除節(jié)點(diǎn)

• 通過(guò)查找到要?jiǎng)h除的項(xiàng)并在找到后刪除他來(lái)執(zhí)行刪除操作，問(wèn)題在于，如果被刪元素的總元素個(gè)數(shù)已經(jīng)低于最小值（L/2），那么刪除后他的項(xiàng)目就不符合B樹(shù)的要求，我們可以通過(guò)在鄰節(jié)點(diǎn)借一個(gè)節(jié)點(diǎn)來(lái)矯正這種情況，如果鄰節(jié)點(diǎn)也達(dá)到最小值（L/2），那么我們就合并這兩個(gè)葉子節(jié)點(diǎn)結(jié)合成一個(gè)新的滿葉節(jié)點(diǎn)。
• 這種操作意味著父節(jié)點(diǎn)是去一個(gè)兒子，如果失去兒子節(jié)點(diǎn)后又引發(fā)兒子節(jié)點(diǎn)數(shù)低于下限，我們繼續(xù)使用相同的策略，一直到根節(jié)點(diǎn)，如果這個(gè)過(guò)程使得根只剩下一個(gè)子節(jié)點(diǎn)，那么刪除這個(gè)根節(jié)點(diǎn)，讓原兒子節(jié)點(diǎn)當(dāng)現(xiàn)在B樹(shù)的新根節(jié)點(diǎn)。
• 這種方式是B樹(shù)降低高度的唯一方式。
• 如下案例，我們還是依照上圖中的B數(shù)，刪除99 項(xiàng)的節(jié)點(diǎn)，由于葉子節(jié)點(diǎn)只有兩個(gè)，而其鄰節(jié)點(diǎn)以及是最小值3 個(gè)了，因此，我們將這兩個(gè)葉子節(jié)點(diǎn)合并成有5項(xiàng)數(shù)據(jù)的一片新的葉子節(jié)點(diǎn)。結(jié)果他的父節(jié)點(diǎn)只有兩個(gè)子節(jié)點(diǎn)，此時(shí)父節(jié)點(diǎn)繼續(xù)上一個(gè)步驟，從鄰節(jié)點(diǎn)領(lǐng)養(yǎng)，鄰節(jié)點(diǎn)有4個(gè)子節(jié)點(diǎn)，最終使用雙方都得到3個(gè)子節(jié)點(diǎn)，如下圖：
  

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的数据结构与算法--B树原理及实现的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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