寫在前面的話：

本講主要內容講了連續性的定義，及其三個衍生的表述方式，函數的幾類間斷點。

最后一個例題回顧了極限的保號性，是不是又有點生疏了？沒關系，回過頭再看看。反復研讀，用心體會。

如果有錯誤的地方還請提出來，我會及時糾正。大家一起學習吧~

一、函數的連續性：

• 函數連續定義：設 在 的某鄰域內有定義，如果當自變量的增量 趨近于零時，對應的函數增量 也趨近于零，即 ，則稱函數 在 點連續。

注：① 我們把

寫成 ，這樣 就可以寫成 ；

②根據極限差的運算法則（戳我了解），我們把

變換一下就可以得到 ，亦即 ,最終可得

③ 當

時， ，注釋②中的 又可以寫成

所以綜合以上①②③三個注解，得出如下三個等價的定義：

設 在 的某鄰域內有定義，如果當自變量的增量 趨近于零時， ，則函數 在 點連續；

設 在 的某鄰域內有定義，如果當自變量的增量 趨近于零時， ，則函數 在 點連續；

設 在 的某鄰域內有定義，如果當自變量的增量 趨近于零時， ，則函數 在 點連續。

更多的情況下，我們一般使用第3個等價定義，我們用

語言來描述第3個等價定義：

設

在 的某鄰域內有定義。如果對任意的 ，總存在正數 ，使當 （相較極限定義中 ，少了左半邊大于 的部分，這樣保證了 可以取值為 ，即 存在）時，不等式 ，對比極限定義，有 ，再根據本文第3個等價定義，也就恰好證明了函數 在 點連續。

• 函數的單側連續概念：

如果函數

左極限 存在且等于 ，則稱 在 點左連續；如果右極限 存在且等于 ，則稱 于 點右連續。

注：①函數在一點連續的充要條件是在該點處既左連續又右連續。

② 如果函數

在開區間 內每一點連續，則稱 是開區間 上的連續函數，或稱 在開區間 上連續；函數 在閉區間 連續，是指 在開區間 連續，且于左端點 右連續，右端點 左連續。關于左右端點連續的描述如下圖所示：

連續函數的例子：

（1）若

是多項式函數，我們前面證明過（戳我了解），對任意的 ，有 ，亦即多項式函數在任意一點處的極限值都等于該點處的函數值，故多項式函數于 內連續。

（2）若

為有理函數，由前面的證明知（戳我了解），只要 ，便有 ，因此有理函數在其定義域內是連續的。

（3）函數

在 內連續，下面給出證明：

證明：設

是區間 內任意一點，當 有增量 時，對應函數的增量 ，由三角函數和差化積公式（戳我了解）

我們在第七講重要極限1的證明過程中已經利用單位圓解釋過（戳我了解），對于任意角度

,當 時有 ，所以 即有不等式 ，對此不等式使用夾逼準則（戳我了解）可知，當 時， ，根據函數連續定義知，函數 在 上是連續的。

（4）函數

在 上連續，證明過程與(3)中類似。

二、函數的間斷點

設函數

在 的某去心鄰域內有定義。如果 有下列三種情形之一：

1.在

處沒有定義；

2.雖然在

處有定義，但 不存在；

3.雖然在

處有定義，且 存在 ，但 ；

則函數

在 處不連續，稱 為 的間斷點。

注：實際上，以上三點本質上就是破壞了函數連續定義中

的三種不同情況，破壞了這個等式肯定就不連續了，從而是間斷的了。

例1.正切函數

在 處沒有定義，所以破壞了等式 ，故 是 的間斷點。又 ，故稱 為 的無窮間斷點。

例2.函數

在點 處沒有定義，當 時， ，函數值在 和 之間變動無限多次，所以 稱為函數 的振蕩間斷點。

例3.函數

在點 ，沒有定義，所以函數在 不連續，但 ，如果補充點 ，則函數在 處就連續了，所以 為該函數的可去間斷點。

例4.函數

在 處有定義 ，又 ，所以 是 的間斷點。但如果改變 在 處的函數值： ，則 于 點處連續，所以 是 的可去間斷點。

例5.函數

在 處有定義， ，且 ，左右極限都存在但是不相等，故 是 的間斷點。因為 的圖形在 有跳躍現象，故稱 是 的跳躍間斷點。

以上我們討論了無窮間斷點、振蕩間斷點、可去間斷點和跳躍間斷點。那么我們通常把這些間斷點分為兩大類：

① 如果

是 的間斷點，左極限 與右極限 都存在（不一定相等），則稱 為第一類間斷點（可去間斷點、跳躍間斷點）。

②如果

左右極限有一個不存在或兩個都不存在，則稱 為第二類間斷點（無窮間斷點、振蕩間斷點）。

下面再補充一個例題：

例6：證明函數

在點 處連續且 ，則存在 的某鄰域 ，使當 時， 。

證明：由于

于 處連續，所以 ，由第七講中極限的保號性定理之定理1'（戳我了解），存在 的某去心鄰域 ，使當 時， ，故當 時， 。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的连续不等_第九讲 函数的连续性与函数的间断点的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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