這篇文章詳細的介紹了貝塞爾(Bezier)曲線，點擊跳轉：【怎么理解貝塞爾曲線？】。

原文內容很多很詳細，本文摘取了一部分，并對原文做了一定程度的更清晰的排版、說明和修改。

一階貝塞爾曲線：

對于一階貝塞爾曲線,從上圖我們可以看到，它是一條直線，通過幾何知識，很容易根據t\color{blue}tt 的值，得出線段上那個點的坐標：
B1(t)=P0+(P1?P0)t\color{blue}B_1(t)=P_0+(P_1-P_0)tB1?(t)=P0?+(P1??P0?)t
也可以變形為：
B1(t)=(1?t)P0+tP1,t∈[0,1]\color{blue}B_1(t)=(1-t)P_0+tP_1, t\in[0,1]B1?(t)=(1?t)P0?+tP1?,t∈[0,1]

一階貝塞爾曲線很好理解, 就是根據 t\color{blue}tt 來的線性插值。P0\color{blue}P_0P0?表示的是一個向量[x,y]\color{blue} [x ,y][x,y], 其中x、y\color{blue}x、yx、y是分別按照這個公式來計算的。

二階貝塞爾曲線：

在平面內任選 3 個不共線的點，依次用線段連接。在第一條線段上任選一個點D\color{blue} DD。計算該點到線段起點的距離 AD\color{blue}ADAD，與該線段總長 AB\color{blue}ABAB 的比例。

根據上一步得到的比例，從第二條線段上找出對應的點 E，使得 AD:AB=BE:BC\color{blue}AD:AB = BE:BCAD:AB=BE:BC。


這時候DE\color{blue}DEDE又是一條直線了, 就可以按照一階的貝塞爾方程來進行線性插值了,
t=AD:AB\color{blue}t= AD:ABt=AD:AB
這時候就可以推出公式了.

P0′=(1?t)P0+tP1\color{blue}P_0'=(1-t)P_0+tP_1P0′?=(1?t)P0?+tP1? 對應著上圖綠色線段的左端點，P0′\color{blue}P_0'P0′? 點是 P0P1\color{blue}P_0P_1P0?P1?線段上的線性插值結果。

P1′=(1?t)P1+tP2\color{blue}P_1'=(1-t)P_1+tP_2P1′?=(1?t)P1?+tP2? 對應著上圖綠色線段的右端點，P1′\color{blue}P_1'P1′? 點是 P1P2\color{blue}P_1P_2P1?P2?線段上的線性插值結果。

B2(t)=(1?t)P0′+tP1′=(1?t)((1?t)P0+tP1)+t((1?t)P1+tP2)=(1?t)2P0+2t(1?t)P1+t2P2\color{blue} \begin{aligned} B_2(t)&=(1-t)P_0'+tP_1' \\ \\&=(1-t)((1-t)P_0+tP_1)+t((1-t)P_1+tP_2) \\\\ &=(1-t)^2P_0+2t(1-t)P_1+t^2P_2 \end{aligned} B2?(t)?=(1?t)P0′?+tP1′?=(1?t)((1?t)P0?+tP1?)+t((1?t)P1?+tP2?)=(1?t)2P0?+2t(1?t)P1?+t2P2??
整理一下公式, 得到二階貝塞爾公式：
B2(t)=(1?t)2P0+2t(1?t)P1+t2P2,t∈[0,1]\color{blue}B_2(t)=(1-t)^2P_0+2t(1-t)P_1+t^2P_2, t\in[0,1]B2?(t)=(1?t)2P0?+2t(1?t)P1?+t2P2?,t∈[0,1]
二階貝塞爾曲線對應著新構造的綠色線段的一階貝塞爾曲線(線性插值)。P0、P1、P2\color{blue}P_0、P_1、P_2P0?、P1?、P2? 這三個點是固定不變的點，但是這個綠色曲線是會隨著 t\color{blue}tt 變化而變化的。

由P0、P1、P2\color{blue}P_0、P_1、P_2P0?、P1?、P2?這三個點，進行二階貝塞爾曲線擬合，得到的曲線是圖中的紅色曲線：

• 從 t=0\color{blue}t=0t=0開始，B2(t)=P0\color{blue}B_2(t)=P_0B2?(t)=P0?，因此，起點和 P0\color{blue}P_0P0? 點重合；
• 0<t<1\color{blue}0<t<10<t<1時，曲線點就是圖中紅色線；
• 到 t=1\color{blue}t=1t=1終止，B2(t)=P2\color{blue}B_2(t)=P_2B2?(t)=P2?，因此，終點和 P2\color{blue}P_2P2? 點重合；

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下面是我的總結：

點擊跳轉【貝塞爾曲線動態圖展示】直觀理解貝塞爾曲線。

假如你有5個點P0、P1、P2、P3、P4\color{red}P_0、P_1、P_2、P_3、P_4P0?、P1?、P2?、P3?、P4?，想根據這5個點擬合出一條曲線，那么，如果使用貝賽爾曲線的話，擬合的效果就如上圖最后一個所示，最后一個圖是4次貝塞爾曲線。4次貝塞爾曲線的控制點就是這五個點，其他點不是4次貝塞爾曲線控制點，叫做中間點，確切的說，是遞歸需要用到的其他低階次的控制點。

通過上面圖，可以看出，最終的(紅色)曲線，就是對這幾個點進行擬合得到的貝塞爾曲線。

n\color{blue}nn個控制點對應著n－１\color{blue}n－１n－１階的貝塞爾曲線。

高階的貝塞爾可以通過不停的遞歸直到一階：

• 4次貝塞爾曲線需要【遞歸】用到3次貝塞爾曲線；
• 3次貝塞爾曲線需要【遞歸】用到2次貝塞爾曲線；
• 2次貝塞爾曲線需要【遞歸】用到1次貝塞爾曲線；
• 1次貝塞爾曲線就是線性插值，就是上面動圖中的第一個圖。

貝塞爾曲線的性質：

1. 階次是控制點個數減1。它限定了，給你n個點，你如果要使用貝塞爾曲線，那么只能使用n-1次貝塞爾曲線來擬合，這個限制條件不太友好；
2. 牽一發動全身，移動一個控制點，整段曲線都會變化。

貝塞爾曲線的凸包性質

貝塞爾曲線始終會在包含了所有控制點的最小凸多邊形中, 不是按照控制點的順序圍成的最小多邊形。這點大家一定注意.　這一點的是很關鍵的，也就是說可以通過控制點的凸包來限制規劃曲線的范圍，在路徑規劃是很需要的一個性質．

凸包可以理解為，有一堆點集，使用一個橡皮筋來套住所有點，最后橡皮筋圍成的形狀，就是這些點集的凸包。上面最后一個圖的5個點中，其實最后一個點P4不是在凸多邊形上，而是在這些點組成的凸包內部。

用不嚴謹的話來講，給定二維平面上的點集，凸包就是將最外層的點連接起來構成的凸多邊形，它能包含點集中所有的點。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【数学与算法】贝塞尔(Bézier)曲线的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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