Ancient Distance

給定一顆根為$1$有$n$個節點的樹，每次可以選定樹上$k$節點當作特殊節點，

定義$dis(u)$為，從$u?>1$遇上的第一個特殊點的距離，如果遇不上特殊點則$dis(u)$無窮大。

有$n$次詢問，問，每次選$k\in \{1,2,3,\dots ,n?1,n\}$個特殊點時的答案，

有一個性質，最大答案為$n?1$，且$1$號點是一定要選的，接下來考慮其他的點如何選取，

假設我們當前答案為$x$，我們需要選取多少個點，有一個貪心的想法，找到一個節點最深的節點，然后把他的第$x$代祖先設置為特殊點，

這樣我們就保證了這一子樹都滿足答案小于等于$x$，按照這樣依次操作，最后我們的答案都會小于$x$，

不難發現對于每個$x$，我們所需執行的操作最多不會超過$?\frac{n}{x}?$，我們可以利用線段樹來查詢每次需要操作的點，這樣保證了一次操作是$\log n$的，

由此我們發現整體復雜度是$\sum _{i=1}^n?\frac{n}{i}?\log n=O(n\log n\log n)$的。

#include <bits/stdc++.h> #define mid (l + r >> 1) #define lson rt << 1, l, mid #define rson rt << 1 | 1, mid + 1, r #define ls rt << 1 #define rs rt << 1 | 1using namespace std;const int N = 2e5 + 10;int maxn[N << 2], id[N << 2], cov[N << 2], ans[N], n;int l[N], r[N], rk[N], fa[N][21], dep[N], tot;vector<int> G[N];void dfs(int rt, int f) {l[rt] = ++tot, rk[tot] = rt, fa[rt][0] = f, dep[rt] = dep[f] + 1;for (int i = 1; i <= 20; i++) {fa[rt][i] = fa[fa[rt][i - 1]][i - 1];}for (int &to : G[rt]) {if (to == f) {continue;}dfs(to, rt);}r[rt] = tot; }int k_fa(int rt, int k) {for (int i = 20; i >= 0; i--) {if (k >> i & 1) {rt = fa[rt][i];}}return rt; }void push_up(int rt) {maxn[rt] = 0;if (!cov[ls] && maxn[ls] > maxn[rt]) {maxn[rt] = maxn[ls];id[rt] = id[ls];}if (!cov[rs] && maxn[rs] > maxn[rt]) {maxn[rt] = maxn[rs];id[rt] = id[rs];} }void build(int rt, int l, int r) {cov[rt] = 0;if (l == r) {maxn[rt] = dep[rk[l]];id[rt] = rk[l];return ;}build(lson);build(rson);push_up(rt); }void update(int rt, int l, int r, int L, int R, int v) {if (l >= L && r <= R) {cov[rt] = v;return ;}if (L <= mid) {update(lson, L, R, v);}if (R > mid) {update(rson, L, R, v);}push_up(rt); }int main() {// freopen("in.txt", "r", stdin);// freopen("out.txt", "w", stdout);while (scanf("%d", &n) != EOF) {tot = 0;for (int i = 1; i <= n; i++) {G[i].clear();}for (int i = 2, x; i <= n; i++) {scanf("%d", &x);G[x].push_back(i);G[i].push_back(x);}dep[0] = -1;dfs(1, 0);build(1, 1, n);for (int i = 1; i <= n; i++) {ans[i] = n;}vector<int> vt;for (int cur = n - 1; cur >= 0; cur--) {int num = 1;vt.clear();while (true) {if (maxn[1] <= cur) {break;}num++;int u = k_fa(id[1], cur);vt.push_back(u);update(1, 1, n, l[u], r[u], 1);}ans[num] = cur;for (auto rt : vt) {update(1, 1, n, l[rt], r[rt], 0);}}for (int i = 2; i <= n; i++) {ans[i] = min(ans[i], ans[i - 1]);}long long res = 0;for (int i = 1; i <= n; i++) {res += ans[i];}printf("%lld\n", res);}return 0; }

總結

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