143. 質數判定__模板題鏈接

前置知識

費馬小定理：$p$是質數，則對于任意的$a$，$a$與$p$互質，則有$a^{p?1}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$。

二次探測定理：如果$p$是一個質數，$x^2\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$，則有解為$x_1=1,x_2=p?1$，推理如下

$?x^2?1\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$

$?p\mid x^2?1$

$?p\mid (x?1)(x+1)$

$?x_1=1,x_2=p?1$

同樣的我們即可反證：如果$x^2\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$，并且$x!=1，x!=n?1$，那么我們一定可以認定$p$不是質數。

miller_radin的實現

對于一個質數$p$，我們顯然可以得到$p?1=2^{s}d$的形式，$d$是奇數。

我們在$[2,n)$中隨機選取一個數$a$，顯然有$a^{p?1}=a^{2^{s}d}=((((a^d{)}^2{)}^{\dots \dots }{)}^2)$。

所以我們可以從$a^d$開始，做$s$次二次探測，如果二次探測失敗，我們直接得到這個數不止質數，當二次探測完成時，我們再做一次費馬小定理的特判，判斷該數是不是質數。

miller_rabin 模板代碼

ll quick_mult(ll a, ll b, ll mod) {ll ans = 0;while(b) {if(b & 1) ans = (ans + a) % mod;a = (a + a) % mod;b >>= 1;}return ans; }ll quick_pow(ll a, ll n, ll mod) {ll ans = 1;while(n) {if(n & 1) ans = quick_mult(ans, a, mod);a = quick_mult(a, a, mod);n >>= 1;} return ans; }bool miller_rabin(ll n) {if(n == 2) return true;if(n < 2 || !(n & 1)) return false;ll s = 0, d = n - 1;while(!(d & 1)) {d >>= 1;s++;}srand(time(0));for(int i = 1; i <= 5; i++) {ll a = rand() % (n - 2) + 2;ll now = quick_pow(a, d, n), pre = now;for(int j = 1; j <= s; j++) {now = quick_mult(now, now, n);if(now == 1 && pre != 1 && pre != n - 1) return false;pre = now;}if(now != 1) return false;}return true; }

總結

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