最優降線問題

最速降線問題（又稱為捷線問題）是經典變分問題之一，其解是一條旋輪線，其解析解是用微分方程模型得到的，因此，研究該問題的新解法可以為微分方程的求解尋找到新的方法。 意大利科學家伽利略在1630年提出一個分析學的基本問題──“一個質點在重力作用下，從一個給定點到不在它垂直下方的另一點，如果不計摩擦力，問沿著什么曲線滑下所需時間最短”。
參考：最優降線的動圖

參考：最速降線問題
伽利略在提出這個問題同時也給出了他自己的答案。然而，他做錯了，他認為是圓。
1696年，約翰﹒伯努利向再次向整個數學界發起了整個問題的挑戰，并且聲稱自己已經解出答案，如果年底沒有人解出來，他就會公布答案。（嗯，其實他就是想證明他是最聰明的。）
1697年1月1日，約翰·伯努利正要公布答案時收到了來自老師萊布尼茲的答案，并在萊布尼茲的要求下延長時間。
當時整個歐洲數學界都被此問題吸引，紛紛投入研究。
不知道是不是因為萊布尼茲和牛頓的不融洽關系，約翰·伯努利還暗戳戳的嘲諷牛頓，并打算向他挑戰這一問題。
后來，54歲的牛頓收到了來自約翰·伯努利的信，這時候牛頓已經在研究神學領域了，而且每天忙英國造幣局的事務到很晚。
疲憊不堪的牛頓看到這封信時很憤怒，很不爽，然后熬夜到凌晨四點，將這個問題給解決了，次日便將答案寄給了當時的科學期刊?Philosophical Transactions》。
牛頓后來跟他朋友說，“在數學問題上，我不喜歡被外國人戲弄。”
最后，約翰·伯努利收到了四份答案，分別來自萊布尼茨（約翰·伯努利的老師）、洛必達（約翰·伯努利的學生）、雅各布·伯努利（約翰·伯努利的兄弟）及匿名的答案。
沒錯，匿名的正是牛頓，不過約翰·伯努利看到這封信時就說：“我看到這利爪就認出來了是頭獅子。”
在這些答案中，牛頓、萊布尼茲、洛必達都是憑借深厚的微積分功底解決這個問題。
約翰·伯努利的解法比較巧妙，他將 A到B的空間劃分出無數層狀介質，并將小球的運動和光所遵循的斯涅爾定律（折射定律）聯系在一起，并得到最速降線是擺線這一答案。
但是，這個問題并沒有到此結束。
1734年，約翰·伯努利的學生歐拉用全新的解法解決了這個問題，并推廣出了一門學科，名變分法。
接下來，我們就看一下歐拉做了什么事情。

泛函極值問題

函數y(x)稱為泛函J的宗量


歐拉方程推導出泛函的最優解就是擺線，而剛好與保守體系的拉格朗日方程一致。

擺線，又稱 旋輪線 、 圓滾線 ，在 數學 中， 擺線 （Cycloid）被定義為，一個圓沿一條直線運動時，圓邊界上一定點所形成的軌跡。
所以，我們知道的拉格朗日函數L=U-T只是在保守系成立。而對于非保守體系，事實上也能寫出拉格朗日函數。

保守體系&非保守體系（有勢力/非有勢力）

將有勢力記入拉格朗日函數，其他的非有勢力單獨計算其廣義力

以最小作用量原理為基礎的拉格朗日力學，L=k-u，那么如何處理非保守力（如摩擦力）呢？
非保守力：凡作功與路徑有關的力稱為非保守力。
常見的摩擦力,物體間相互作非彈性碰撞時的沖擊力都屬于非保守力。 非保守力具有沿任意閉合路徑作功不等于零的特點。 非保守力包括耗散力和非耗散力兩類。
保守力
定義：力所作的功與路徑無關，僅由質點的始末位置決定。
即：保守力沿閉和路徑所做的功為零。
由于保守力所做的功與運動物體所經過的路徑無關，因此，如果物體沿閉合路徑繞行一周，則保守力對物體所做的功恒為0 .因為保守力的功具有這樣的特點，所以在只有保守力作用在物體上的情況下可以定義勢能（位能）.勢能大小僅由保守力的大小和具有保守力作用的二物體問的相互位置決定。換句話說，勢能僅與保守力場的位置有關。
非保守力
定義：力所做的功不僅決定于受力質點的始末位置，而且和質點經過的路徑有關；或：力沿閉和路徑所做的功不等于零。
保守力做功，與路徑無關，非保守力與路徑有關。
常見的摩擦力，物體間相互作非彈性碰撞時的沖擊力都屬于非保守力。非保守力具有沿任意閉合路徑作功不等于零的特點。非保守力包括耗散力和非耗散力兩類。
在力學范圍內接觸的非保守力大多數是耗散力，所以長期以來耗散力就成了非保守力的同義詞。嚴格說來兩者是有區別的，一個系統的總機械能減少，并轉變為系統的熱能或內能。通常人們把這個過程叫耗散過程，而把導致耗散的力成為耗散力。
非耗散力指能對系統或物體做正功，而且做功與路徑有關的力。如磁力。

哈密頓原理

參考：哈密頓原理


如同一般變分原理一樣,從哈密頓原理可以等價地推出相應的質點組的運動方程,通常是微分方程.如果力學系統處于靜力平衡穩定狀態,則因動能為零,位能與時間無關,哈密頓原理轉化為最小位能原理(勢能一定在最低的地方):

在力是保守力的情況下,對任何有限粒子組,對于更一般的動力系統以及連續介質,這一原理的推廣同樣適用.哈密頓原理還可推廣到電磁學、量子學說以及相對論中的基本定律.量子學說的創立者普朗克(Planck,M.)這樣評價哈密頓原理,“物理學中最崇高且最為人們殷切追求的目標,是把業已觀察到并行將觀察到的一切自然現象縮并成單獨一個原理……在那些標志著過去幾百年物理科學成就的,多少帶有一般性的定律中,最小作用原理,就其內容和形式而論,可能最接近于理論研究上這一理想的最終目標.

總結

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