這不是一篇介紹數(shù)位$dp$的文章，只是我思考后的一些記錄，怕以后就忘記了。
由于博主太菜不會(huì)組合數(shù)學(xué)，以下數(shù)位$dp$均采用記憶化搜索的方式。
首先最重要的就是狀態(tài)設(shè)計(jì)了，正常來(lái)說(shuō)數(shù)位$dp$的狀態(tài)設(shè)計(jì)需要包含數(shù)的結(jié)構(gòu)和狀態(tài)。
數(shù)位$dp$的復(fù)雜度可以簡(jiǎn)單理解為開(kāi)的數(shù)組的大小。
對(duì)于數(shù)位$dp$有兩種理解：
第一種： $dp$的狀態(tài)只與當(dāng)前數(shù)的位數(shù)以及要維護(hù)的狀態(tài)有關(guān)。在這種理解方式下，$dp$狀態(tài)設(shè)計(jì)通常為$f[pos][state]$，由于狀態(tài)中并未規(guī)定上下界，所以對(duì)于每次查詢操作，并不需要將其$dp$數(shù)組清成$?1$，這樣在應(yīng)對(duì)多組查詢的時(shí)候可能會(huì)快一點(diǎn)。在記憶化的時(shí)候需要加上$flag1...$等限制上界的變量是否為$1$，即當(dāng)前位是否可以選任意數(shù)，在多組測(cè)試情況下這個(gè)方法跑的還可以。當(dāng)然這個(gè)只跑的快只能在維護(hù)一個(gè)數(shù)的時(shí)候跑的快，如果你要維護(hù)一對(duì)數(shù)，那么記憶化的時(shí)候$flag1\&\&flag2$才能記憶化，這樣的話就會(huì)慢很多，導(dǎo)致$TLE$，所以當(dāng)維護(hù)兩個(gè)數(shù)及以上的時(shí)候最好不要用這種記憶化方式。
寫(xiě)成的代碼大概是這樣的：

if(f[pos][state]!=-1&&flag) return f[pos][state]; if(flag) f[pos][state]=ans; return ans;

第二種： 在狀態(tài)中加入$0/1$表示是否達(dá)到上界，即上文中的$flag1,flag2...$，這樣的話由于每次詢問(wèn)的數(shù)都不同，所以每次都需要將$f$數(shù)組置為$?1$才能記憶化，這樣的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)相比于上面的方式很明顯，優(yōu)點(diǎn)就是這個(gè)狀態(tài)設(shè)計(jì)能記錄$f[pos][state][0]$的信息，即如果當(dāng)前位不能自由選也可以記憶化，而上面的只能記錄下來(lái)$f[pos][state][1]$的信息，只不過(guò)我們將最后一維省略了。缺點(diǎn)也比較明顯，每次都需要初始化$f$數(shù)組，讓后重新$dp$一次，不過(guò)也不會(huì)太慢。
寫(xiě)成代碼大概是這樣的：

if(f[pos][state][flag]!=-1) return f[pos][state][flag]; return f[pos][state]=ans;

對(duì)于前導(dǎo)零：
當(dāng)涉及到對(duì)數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行維護(hù)的時(shí)候就有可能需要維護(hù)一個(gè)前導(dǎo)零了。比如說(shuō)求$[l,r]$內(nèi)有多少個(gè)數(shù)的位數(shù)中含$k$個(gè)$0$，這個(gè)時(shí)候如果不維護(hù)一個(gè)前導(dǎo)零的話會(huì)將如$0010$中前面兩個(gè)$0$也算入答案，這顯然是不正確的。

數(shù)位$dp$很多題目求貢獻(xiàn)的話都是按位或者按照數(shù)來(lái)求的。

做過(guò)的例題：
2020 ICPC 上海 Sum of Log 數(shù)位dp + 優(yōu)化狀態(tài)
hdu 6899 Xor 數(shù)位dp
FZU - 2042 The Mad Mathematician 數(shù)位dp + 算貢獻(xiàn)

暫時(shí)先更這些，后面有更好的理解會(huì)補(bǔ)充。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的对数位dp的一些拙见的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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