題意：給定$n$和$d$，構造或判斷無法構造一棵二叉樹使得所有點的深度（定義為到根距離）之和為$d$。

$n,d\le 5000$

顯然可以算出有解的$d$的下界和上界，分別是完全二叉樹和鏈的情況。下面會證明在這個范圍內一定有解。

考慮增量，先構造出一條鏈，每次選一個葉結點接到深度小$1$的位置。

具體實現可以按編號暴力枚舉葉結點，然后暴力枚舉新位置的父親（即深度小$2$且兒子數$<2$）。如果找不到，因為它的祖先都遍歷過，感性理解，這個葉結點上面都放滿了，以后不可能再用，打上標記，下次增量的時候不訪問。

一棵二叉樹是完全二叉樹，當且僅當所有倒數第三深的點都已經有兩個兒子。所以不是完全二叉樹時可以按上面的方法增量。

復雜度看似是$O(n(n^2?d))$，但實際上$d$小于下界時可以直接輸出NO

顯然下界是$O(n\log n)$的，也就是說只需要考慮$n\log n<d$

變換得$n<\frac{d}{\log n}$

那么復雜度不劣于$O((\frac{d}{\log n}{)}^3)$

當$d=5000$,$n$最小只能到根號級別

加上算法復雜度不滿，可以通過

#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <cctype> #define MAXN 5005 using namespace std; inline int read() {int ans=0;char c=getchar();while (!isdigit(c)) c=getchar();while (isdigit(c)) ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(c^48),c=getchar();return ans; } int fa[MAXN],cnt[MAXN],sum[MAXN],dep[MAXN],bad[MAXN]; int main() {sum[1]=1;for (int i=2;i<MAXN;i++) sum[i]=i+sum[i/2]+sum[i-i/2-1];for (int i=1;i<MAXN;i++) sum[i]-=i;for (int T=read();T;T--){int n,d;n=read(),d=read();int cur=n*(n-1)/2;if (d<sum[n]||d>cur) {puts("NO");continue;}fa[1]=0;for (int i=2;i<=n;i++) fa[i]=i-1;for (int i=1;i<n;i++) cnt[i]=1;cnt[n]=0;for (int i=1;i<=n;i++) bad[i]=0,dep[i]=i-1;while (cur>d){int u;for (u=1;u<=n;u++)if (!cnt[u]&&!bad[u])break;bad[u]=1;for (int p=1;p<=n;p++)if (cnt[p]<2&&dep[u]-dep[p]==2){--cnt[fa[u]],fa[u]=p;dep[u]=dep[p]+1,++cnt[p];bad[u]=0,--cur;break;}}puts("YES");for (int i=2;i<=n;i++) printf("%d%c",fa[i]," \n"[i==n]);}return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【CF1311E】Construct the Binary Tree【增量构造】【复杂度证明】的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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