傳送門

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題意：

$T$組詢問給定$n,m,a$,求

$$\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^M[(\sum _{d\in N^{?}}[d\mid i][d\mid j]d)\le a]\sum _{d\in N^{?}}[d\mid i][d\mid j]d$$

$1\le n,m\le 1e5,1\le a\le 1e9,1\le T\le 2e4$

對$2^{31}$取模

反演神題

假設(shè)沒有前面的限制

$$\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^M\sum _{d\in N^{?}}[d\mid i][d\mid j]$$

記$F(x)$表示約數(shù)和

$$\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^{M}F(gcd(i,j))$$

套路性地枚舉$gcd$

$$\sum _d\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^M[gcd(i,j)=d]F(d)$$

套路性地提到前面

$$\sum _{d}F(d)\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m[gcd(i,j)=d]$$

后面是個套路性的反演

設(shè)

$$f(d)=\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^M[gcd(i,j)=d]$$

$$g(d)=\sum _{d\mid n}f(n)=?\frac{N}{d}??\frac{M}{d}?$$

$$f(d)=\sum _{d\mid n}g(n)\mu (\frac{n}{d})=\sum _{d\mid n}?\frac{N}{n}??\frac{M}{n}?\mu (\frac{n}{d})$$

代回去

$$\sum _{d}F(d)\sum _{d\mid n}?\frac{N}{n}??\frac{M}{n}?\mu (\frac{n}{d})$$

$$\sum _{n=1}^{min(N,M)}?\frac{N}{n}??\frac{M}{n}?\sum _{d\mid n}F(d)\mu (\frac{n}{d})$$

左邊是個套路性的整除分塊 不管

右邊并沒有很好的性質(zhì)，只能篩出來暴力求……

等下，原題是有限制$F(d)\le a$的

設(shè)

$$G(n)=\sum _{d\mid n}F(d)\mu (\frac{n}{d})$$

我們發(fā)現(xiàn)只有不超過$a$的$F(d)$才對答案有貢獻(xiàn)

而$T,N$都很小

所以可以把$F(d)$和$a$排個序，拿個指針指一下

跑到一個$a$把前面的$F(d)$枚舉倍數(shù)統(tǒng)計(jì)更新$G$,再拿整除分塊算答案

需要維護(hù)單點(diǎn)加，區(qū)間詢問，用個樹狀數(shù)組即可

復(fù)雜度大概$O(NlogN+TlogT\sqrt{T})$

#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <cctype> #include <algorithm> #define MAXN 100005 using namespace std; const int N=100000; int np[MAXN],pl[MAXN],cnt; int mu[MAXN],f[MAXN],mp[MAXN],pt[MAXN]; inline int qpow(int a,int p) {int ans=1;while (p){if (p&1) ans*=a;a*=a;p>>=1;}return ans; } void init() {np[1]=mu[1]=f[1]=1;for (int i=2;i<=N;++i){if (!np[i]){pl[++cnt]=i;mu[i]=-1;mp[i]=i;pt[i]=1;}int x;for (int j=1;(x=i*pl[j])<=N;++j){np[x]=1;mp[x]=pl[j];if (i%pl[j]==0){mu[x]=0;pt[x]=pt[i]+1;break;}mu[x]=-mu[i];pt[x]=1;}}for (int i=2;i<=N;i++){int t=qpow(mp[i],pt[i]);if (i==t) f[i]=f[i/mp[i]]+t;else f[i]=f[t]*f[i/t];} } int p[MAXN]; inline bool cmp(const int& a,const int& b){return f[a]<f[b];} struct query{int n,m,a,id;}q[MAXN]; inline bool operator <(const query& x,const query& y){return x.a<y.a;} struct BIT {int s[MAXN];inline int lowbit(const int& x){return x&-x;}inline void modify(int x,const int& v){for (;x<=N;s[x]+=v,x+=lowbit(x));}inline int query(int x){int ans=0;for (;x;ans+=s[x],x-=lowbit(x));return ans;} }g; int res[MAXN]; //int calc(int x,int y,int a) //{ // int ans=0; // for (int i=1;i<=x&&i<=y;i++) // if (x%i==0&&y%i==0) // ans+=i; // if (ans<=a) return ans; // else return 0; //} int main() {init();for (int i=1;i<=N;i++) p[i]=i;sort(p+1,p+N+1,cmp);int pos=0;int T;scanf("%d",&T);for (int i=1;i<=T;i++) {scanf("%d%d%d",&q[i].n,&q[i].m,&q[i].a);q[i].id=i; // int t=0; // for (int x=1;x<=q[i].n;x++) // for (int y=1;y<=q[i].m;y++) // t+=calc(x,y,q[i].a); // printf("%d\n",t&(~(1<<31)));}sort(q+1,q+T+1);for (int i=1;i<=T;i++){while (pos<N&&f[p[pos+1]]<=q[i].a){++pos;for (int d=1;d*p[pos]<=N;++d) g.modify(d*p[pos],f[p[pos]]*mu[d]);}if (q[i].n>q[i].m) swap(q[i].n,q[i].m);int ans=0;for (int l=1,r;l<=q[i].n;l=r+1){r=min(q[i].n/(q[i].n/l),q[i].m/(q[i].m/l));ans+=(q[i].n/l)*(q[i].m/l)*(g.query(r)-g.query(l-1));}res[q[i].id]=ans;}for (int i=1;i<=T;i++) printf("%d\n",res[i]&(~(1<<31)));return 0; }

總結(jié)

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