Atcoder ARC062F - AtCoDeerくんとグラフ色塗り / Painting Graphs with AtCoDeer

題目描述

簡要題意：給定一個有標號的無向圖，你可以給每條邊染上$K$種顏色之一，求本質不同的圖的染色方案（兩個圖本質不同定義為不能通過若干次環的旋轉使這兩個圖每條邊的染色相同）。

Solution

分類討論：
倘若是一條單邊（不包含在任何環中），則它的顏色任意，方案數為$K$。

倘若是一個單環（不與其他環的邊相交），則環上的顏色要旋轉后本質不同，經典的$Burnside$問題，設環長為$cnt$，則方案數為${\sum }_{i=0}^{sz?1}{k}^{gcd(i,sz)}$

倘若是兩個或以上的環嵌套，可以發現環上的顏色都是可以互換的，兩個嵌套環不同，當且僅當某種顏色的個數不同，因此方案數就是一個插板法，設嵌套環有$sz$條邊，則方案數為$C(sz+K?1,K?1)$。

#include <vector> #include <list> #include <map> #include <set> #include <deque> #include <queue> #include <stack> #include <bitset> #include <algorithm> #include <functional> #include <numeric> #include <utility> #include <sstream> #include <iostream> #include <iomanip> #include <cstdio> #include <cmath> #include <cstdlib> #include <cctype> #include <string> #include <cstring> #include <ctime> #include <cassert> #include <string.h> //#include <unordered_set> //#include <unordered_map> //#include <bits/stdc++.h>#define MP(A,B) make_pair(A,B) #define PB(A) push_back(A) #define SIZE(A) ((int)A.size()) #define LEN(A) ((int)A.length()) #define FOR(i,a,b) for(int i=(a);i<(b);++i) #define fi first #define se secondusing namespace std;template<typename T>inline bool upmin(T &x,T y) { return y<x?x=y,1:0; } template<typename T>inline bool upmax(T &x,T y) { return x<y?x=y,1:0; }typedef long long ll; typedef unsigned long long ull; typedef long double lod; typedef pair<int,int> PR; typedef vector<int> VI;const lod eps=1e-11; const lod pi=acos(-1); const int oo=1<<30; const ll loo=1ll<<62; const int mods=1e9+7; const int MAXN=600005; const int INF=0x3f3f3f3f;//1061109567 /*--------------------------------------------------------------------*/ inline int read() {int f=1,x=0; char c=getchar();while (c<'0'||c>'9') { if (c=='-') f=-1; c=getchar(); }while (c>='0'&&c<='9') { x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48); c=getchar(); }return x*f; } vector<int> e[MAXN],V[MAXN]; int fac[MAXN],inv[MAXN],dfn[MAXN],low[MAXN],stk[MAXN],flag[MAXN],top=0,num=0,DFN=0,n,m,k; inline int quick_pow(int x,int y) {int ret=1;for (;y;y>>=1){if (y&1) ret=1ll*ret*x%mods;x=1ll*x*x%mods;}return ret; } inline void Init(int n) {fac[0]=1; for (int i=1;i<=n;i++) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mods;inv[n]=quick_pow(fac[n],mods-2);for (int i=n-1;i>=0;i--) inv[i]=1ll*inv[i+1]*(i+1)%mods; } inline int upd(int x,int y) { return x+y>=mods?x+y-mods:x+y; } inline int gcd(int x,int y) { return y==0?x:gcd(y,x%y); } inline int C(int x,int y) { return 1ll*fac[x]*inv[y]%mods*inv[x-y]%mods; } inline int Burnside(int n) { int ans=0; for (int i=0;i<n;i++) ans=upd(ans,quick_pow(k,gcd(i,n))%mods); return 1ll*ans*quick_pow(n,mods-2)%mods; } inline void tarjan(int x,int father) {dfn[x]=low[x]=++DFN;stk[++top]=x;for (auto v:e[x]){if (v==father) continue;if (!dfn[v]){tarjan(v,x);upmin(low[x],low[v]);if (low[v]>=dfn[x]){int y;V[++num].PB(x);while (y=stk[top--]){V[num].PB(y);if (y==v) break;}}}else upmin(low[x],dfn[v]);} } int main() {n=read(),m=read(),k=read();Init(m+k);for (int i=1;i<=m;i++){int u=read(),v=read();e[u].PB(v),e[v].PB(u);}for (int i=1;i<=n;i++) if (!dfn[i]) tarjan(i,0);int ans=1;for (int i=1;i<=num;i++){if (V[i].size()==2) ans=1ll*ans*k%mods;else{int cnt=0;for (int i=1;i<=n;i++) flag[i]=0;for (auto x:V[i]) flag[x]=1;for (auto x:V[i])for (auto v:e[x]) if (flag[v]) cnt++;cnt>>=1;if (cnt==V[i].size()) ans=1ll*ans*Burnside(cnt)%mods;else ans=1ll*ans*C(cnt+k-1,k-1)%mods; // cout<<V[i].size()<<" "<<cnt<<" "<<ans<<endl;}}printf("%d\n",ans);return 0; }

總結

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