斜率優化

一、簡單DP

首先從一道簡單題引入。

[IOI2002]任務安排

Description

N個任務排成一個序列在一臺機器上等待完成（順序不得改變），這N個任務被分成若干批，每批包含相鄰的若干任務。從時刻0開始，這些任務被分批加工，第i個任務單獨完成所需的時間是Ti。在每批任務開始前，機器需要啟動時間S，而完成這批任務所需的時間是各個任務需要時間的總和（同一批任務將在同一時刻完成）。每個任務的費用是它的完成時刻乘以一個費用系數ci。請確定一個分組方案，使得總費用最小。

例如：S=1；T={1,3,4,2,1}；F={3,2,3,3,4}。如果分組方案是{1,2}、{3}、{4,5}，則完成時間分別為{5,5,10,14,14}，費用C={15,10,30,42,56}，總費用就是153。

Input

第一行是N(1＜=N＜=5000)。

第二行是S(0＜=S＜=50)。

下面N行每行有一對數，分別為Ti和ci，均為不大于100的正整數，表示第i個任務單獨完成所需的時間是Ti及其費用系數ci。

Output

一個數，最小的總費用。

Sample Input

5

1

1 3

3 2

4 3

2 3

1 4

Sample Output

153

Solution

“光著身子”的動態規劃。

設F[i,j]表示劃分前i個任務為j批的最小費用。

?? ? ? ? ? ? ? ??

，時間復雜度：，空間復雜度：

這顯然是不夠的。

?

實際上我們不一定要知道之前劃分了多少批任務，只需要記錄F[i]表示劃分前i個任務的最小費用。

這樣就寫出了動態規劃方程。

二、簡單題2

將上題的n<=5000改為n<=300000。

Solution

這就是本文的重點所在了。

在上文中的動態規劃中，尚有兩種簡單的優化思路：

優化狀態：將這樣一個動態規劃轉化為貪心或數學題。

優化轉移：優化轉移的時間（主要為優化重復或不必要的轉移）。

顯然，優化狀態很難達成，那么我們考慮優化轉移。

我們可以發現在轉移的過程中有很多的不必要的轉移：

考慮一下兩個轉移:

在此題中，若?

那么轉移 j 就是不必要的。

也就是說，若有且選取轉移狀態的集合

并且存在，后面的轉移比前面的優，則前面的轉移就是無意義的，也就是對最終答案無貢獻的了。

?

考慮本題，如何判斷轉移狀態是否是有用的呢？

也就是說，如果?

那么后面的轉移比前面的優，否則前面的轉移比后面的優。

這樣的，即是用斜率的形式，表現了轉移之間的不必要的關系。

?

進一步，我們發現：

也就是說，如果當前存在后面的轉移比前面的優，那么這個轉移在之后的狀態中都不會成為最有轉移！

根據這個性質，我們選擇用單調隊列維護一個兩點間斜率單調遞增的點集隊列。

設：

若有??，則的轉移必然不會是最優的，于是能夠將它刪除。（維護隊尾）

若有， ? ? ? ?則x1的轉移必然不會是最優的，于是能夠將它刪除。 （維護隊首）

最后的點集隊列滿足：在隊首的點的轉移必然是最優的。

于是

將轉移化為，動態規劃完成。

三、簡單題3

若 ? -512<=t[i]<=512 ，也就是說：

? ??不再成立怎么辦呢？

我們發現：

若有??，則的轉移必然不會是最優的，于是能夠將它刪除。（維護隊尾）

這一性質依然成立，那么這個點集集合還是會組成一個相鄰點斜率遞增的單調隊列。

有 ??

發現：

如果，那么優于。

如果，那么優于。

也就是說，答案一定存在于一個點，使得???且???

那么必然最優。

我們可以維護單調隊列，只在隊尾刪除，每次二分查詢一個最優點。

這樣便是的斜率優化做法。

?

四、簡單題4

一種形式斜率優化的形式：

隊列中的點不滿足單調性。

BZOJ1492: [NOI2007]貨幣兌換Cash

題目描述：詳見BZOJ。

這一題就是典型的例子。

斜率不單調，那么就必須用cdq分治或splay維護斜率凸包解決斜率優化問題了。

下次有時間再補充。。。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的斜率优化Convex Hull Trick的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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