博弈論(b站視頻)

文章目錄

• 一些概念
• 以Nim游戲?yàn)槔?/li>
• • Nim游戲介紹
  • 定義 必?cái)?必勝局面
  • 必?cái)?必勝局面的判定引理
  • Nim游戲判定引理的等價(jià)命題
• 有向圖游戲
• 對(duì)判定引理的數(shù)學(xué)描述-Sg函數(shù)
• 有向圖游戲的和
• 題目：
• • [有向圖游戲]
  • [有向圖游戲的和]
  • [構(gòu)造/轉(zhuǎn)化類(lèi)]

一些概念

以Nim游戲?yàn)槔?/h1>

Nim游戲介紹

定義 必?cái)?必勝局面

P-position:先手必?cái)?br /> N-position:先手必勝

例如三堆式子的Nim游戲：

必?cái)?必勝局面的判定引理

Nim游戲判定引理的等價(jià)命題

為什么直接異或呢？(看圖)

有向圖游戲

大部分公平組合游戲都可以轉(zhuǎn)換為有向圖游戲
單個(gè)有向圖游戲的勝負(fù)可根據(jù)判定引理判定

對(duì)判定引理的數(shù)學(xué)描述-Sg函數(shù)

mex：最小的不屬于這個(gè)集合的自然數(shù)
sg(x)=mex{sg(y)|x->y}
必?cái)【置?#xff1a;sg(x) = = 0
必勝局面：sg(x) ! = 0

sg函數(shù)驗(yàn)證三條判斷引理：
SG函數(shù)刻畫(huà)了三條判定引理的性質(zhì)

有向圖游戲的和

G1，G2…Gn是n個(gè)有向圖游戲
有SG定理：
sg(G) = sg(G1) ^ sg(G2) ^ … ^ sg(Gn)

題目：

[有向圖游戲]

DAG圖上dfs:sg(x)=mex{sg(y)|x->y},也可以直接用判定引理，復(fù)雜度O(N+M)，如果N是一兩百，可以直接爆搜
找規(guī)律(類(lèi)nim游戲）
P1247 取火柴游戲
P1290 歐幾里得的游戲
P1288 取數(shù)游戲II
CF917B MADMAX

[有向圖游戲的和]

求單個(gè)游戲的sg值，xor起來(lái)，不能直接使用判斷引理，需要求出sg的具體值
sg定理：sg（G）=sg(G1) ^ sg(G2) ^ … ^ sg(Gn)
P2575 高手過(guò)招
Acwing 219 剪紙游戲
Acwing 235魔法珠

[構(gòu)造/轉(zhuǎn)化類(lèi)]

P1199 三國(guó)游戲
Acwing 236.格魯吉亞和鮑勃

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的博弈论(基础概念+例题)的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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