文章目錄

• 直線：
• 圖形：
• 求垂足
• 求兩圓交點
• 直線與圓交點
• 多邊形問題
• • 判斷一個點是否在任意多邊形內部
  • Pick定理
• 凸包
• • 求點集的凸包
  • • 水平法：
    • 增量法：
• 半平面
• • 半平面交
  • 求半平面交

直線：

struct Line{point p,v;Line(){}Line(point _p.point _v):p(_p),v(_v){} }L[N];

圖形：

求垂足

point vp(Line l,point p)//求p點向l做垂線得到的垂足 {double Dis=dis(l,p);//求p到l的距離Dis Dis=Dis*Dis;double pDis=(p-l.p).length();//求AP距離pDis pDis=pDis*pDis;double vDis=sqrt(pDis-Dis);//勾股定理得到AH距離 point ans=l.p+l.v*(vDis/l.v.length());//通過方向單位向量乘長度得到路徑，加起點得到答案 return ans; }

求兩圓交點

先求余弦定理 cosp1

反函數 角p1

p1p2旋轉到p11T方向

調整長度

p1+p1T向量=T
代碼：

point get_intersection(circle A,circle B) {point AB=B.o-A.o;double costheta=AB.length() * AB.length() + A.r *A.r-B.r*B.r;costheta=costheta/(2*AB.length()*A.r);//余弦定理AB=AB.rotatr(acos(costheta));//旋轉theta角return A.o+AB*(A.r/AB.length()); }

直線與圓交點

代碼：

point get_intersection(circle A,Line B) {point H=vp(B,A.o);//求垂線 double OH=(H-A.o).length();double HY=sqrt(A.r * A.r -OH * OH);return H + B.v *(HY/B.v.length());// return H + B.v *(-HY/B.v.length()); }

點+單位向量 * 長度

多邊形問題

平面上n個點收尾順次連接組成的平面圖形
可能是凸多邊形或者凹多邊形

判斷一個點是否在任意多邊形內部

從這個點出發引一條射線，如果這個射線與多邊形有奇數個交點則在內部，否則在外部

double calc_S() {double ans=0;int n=poly.size();for(int i=1;i<n;i++)ans+=poly[i-1]^poly[i];ans+=poly[n-1]^poly[0];return ans/2; }

Pick定理

對于頂點都是整點的多邊形，設其面積為S，多邊形內部的點數為a，邊上的點數為b，那么滿足：
S = a + b/2 - 1

凸包

給出一個二維平面內的點集，如果任意兩個點的連線都在點集內，則這個點集是個凸集
對于給定的散點集X，包含X的所有凸集的交集S叫做X的凸包
點就是墻上的釘子，用一個橡皮筋套在外面，收縮后形成的凸多邊形就是凸包

求點集的凸包

水平法：

凸包一般使用水平法求解
將凸包分為上凸殼和下凸殼兩部分，分別求解
每一部分按照x的坐標排序，用單調棧維護，利用叉積的符號判斷凹凸性

增量法：

判斷情況：
此時B合法

此時B不合法

不合法的點一定是最后添加入S的，且是連續的

//判斷上凸包 sort(poly.begin(),poly.end(),cmp); int top=0,n=poly.size(); Stack[++top]=poly[0]; for(int i=1;i<n;i++) {point C=poly[i];while(top>1){point B=Stack[top];point A=Stack[top-1];point AB=B-A;point AC=C-A;if((AB^AC)>eps)top--;else break;}Stack[++top]=C; }

半平面

? 顧名思義，就是平面的一半。一條直線會把平面分成兩部分，就 是兩個半平面。對于半平面，我們可以用直線方程式如： ax+by+c > 0 表示，更常用的是用直線表示

半平面交

? 顧名思義，就是多個半平面求交集。其結果可能是一個凸多邊形、 無窮平面、直線、線段、點等。 ? 什么時候需要半平面交？
? 1. 二維線性規劃 （高中數學）
? 2. 求多邊形的核 ? 多邊形的核：如果多邊形中存在一個區域使得在區域中可以看到 多邊形中任意位置（反之亦然），則這個區域就是多邊形的核

求半平面交

? 理論上有很多很多種求法，但是在實際應用中效率最高而且最好 寫的是 S&I 增量法，也就是一個一個插入半平面并且更新答案。
? 核心思想：
? 1. 選取逆時針方向為正方向，把所有的直線變成向量。
? 2. 所有的向量按照極角排序，角度相同的保留左邊的。
? 3. 按照順序每次插入一個平面，刪掉右面的部分，保留左邊的部 分。
###具體方法：
1.選方向，排序（如上文）
? 2.用雙端隊列保存構成當前核的所有向量。
? 3.按照順序遍歷所有向量，每次加入判斷影響
? 假設隊列中最后兩條直線的交點是左圖所示。如果新加入了直線 后原來的交點在直線右側，說明最后一條直線沒有用，把它從隊 列中刪除。


看遍邊6要不要保留，就看5和6的交點在直線的哪一側

由p指向v的向量
ans存的交點
q存的邊

總結

以上是生活随笔為你收集整理的计算几何基础-2的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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