題目描述

C++中數據的類型與長度參考：

因此，C++最大能支持的十進制是19位的整數。如果要支持更大的整數，需要實現Big Number類。RSA目前比較安全的密鑰長度是2048位二進制，即是617位的十進制。因此，C++自帶的數據類型無法實現安全的RSA密鑰加解密。

為了降低難度，該題不要求實現大數支持，因此只使用C++自帶的long long 數據類型。

該實驗主要包含三部分：1. 公私鑰的生成。在公私鑰生成中，有p、q、e三個參數是隨機選擇的，其中p、q要求是質數，因此需要實現一個函數檢查一個整數是否是質數。由p、q的乘積可以得到n：n=p*q，以及n的歐拉函數: φ(n) = (p-1)*(q-1)。e是在(1, φ(n))之間隨機選取的整數，需要滿足gcd(e, φ(n)) = 1，因此，需要通過擴展歐幾里得算法驗證取得的e是與φ(n)互質的。d可以通過擴展歐幾里得算法求得 。以滿足，即。

公鑰為（n, e）,私鑰為（n,d）

檢查一個整數是否為質數-Rabin-Miller算法，請參考：Miller-Rabin素性測試算法詳解_Nicetomeetu-的博客-CSDN博客_millerrabin素數測試算法或Miller Rabin算法詳解 - 自為風月馬前卒 - 博客園或BZOJ3667: Rabin-Miller算法 - 自為風月馬前卒 - 博客園

擴展歐幾里得算法：請參考：【算法學習】擴展歐幾里得算法詳解及C++代碼實現_行仔ovo的博客-CSDN博客_歐幾里得算法c++

2. 加密過程，使用加密算法c = m^e mod n，計算出密文c；

3.解密過程，使用私鑰d和解密算法m = c^d mod n, ，計算m；

加密和解密過程需要做冪運算取余，如果直接先做冪運算再取余，則很容易出現溢出，因此，我們需要采用快速冪運算取余算法，請參考：https://jlice.top/p/7tbs7/

因此，該次實驗主要難點在于以下三個算法的理解與實現：

1. Rabin-Miller算法

2. 擴展歐幾里得算法

3. 快速冪取余算法

根據前面的算法，我們知道明文和密文都不能大于n，假設n的長度為L，對于明文，我們需要按照L-1的長度對其分組然后再加密，每組的密文長度L。解密的時候使用L的長度對其進行分組然后解密，每組的明文長度為L-1。分組按照整數從低到高（即從右往左）

輸入

第一行是p

第二行是q

第三行是e

第四行是待加密數據

第五行是待解密數據

輸出

第一行輸出p是否是質數

第二行輸出q是否是質數

第三行打印n

第四行打印d

第五行顯示輸入第四行的加密結果

第六行顯示輸入第五行的解密結果

輸入樣例1

67
43
13
281
2154

輸出樣例1

Yes
Yes
2881
853
325
54?

?AC代碼

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;ll mod_mul(ll a, ll b, ll mod)
{ll res = 0;while (b){if (b & 1)res = (res + a) % mod;a = (a + a) % mod;b >>= 1;}return res;
}ll mod_pow(ll a, ll n, ll mod)
{ll res = 1;while (n){if (n & 1)res = mod_mul(res, a, mod);a = mod_mul(a, a, mod);n >>= 1;}return res;
}// Miller-Rabin隨機算法檢測n是否為素數
bool Miller_Rabin(ll n)
{if (n == 2)return true;if (n < 2 || !(n & 1))return false;ll m = n - 1, k = 0;while (!(m & 1)){k++;m >>= 1;}for (int i = 1; i <= 20; i++)  // 20為Miller-Rabin測試的迭代次數{ll a = rand() % (n - 1) + 1;ll x = mod_pow(a, m, n);ll y;for (int j = 1; j <= k; j++){y = mod_mul(x, x, n);if (y == 1 && x != 1 && x != n - 1)return false;x = y;}if (y != 1)return false;}return true;
}//擴展歐幾里得算法
void extend_gcd(long long a, long long b, long long& x, long long& y) {if (b == 0) {x = 1, y = 0;return;}extend_gcd(b, a % b, x, y);long long tmp = x;x = y;y = tmp - (a / b) * y;
}
long long getInv(long long a, long long mod) {long long x, y;extend_gcd(a, mod, x, y);while (x < 0) {x = x + mod;}return x;
}//快速冪運算取余算法
ll qiumi(ll a, ll b, ll m)
{int r = 1 % m;while (b){if (b & 1)r= r * a % m;a = a * a % m;b >>= 1;}return r;
}ll jiami(ll m,ll e,ll n)
{int len_n = 0, len_m = 0, t;//計算n的長度t = n;while (t){t = t / 10;len_n++;}//計算明文的長度t = m;while (t){t = t / 10;len_m++;}ll ans = 0;if (len_m > len_n)      {ll right =0,  left = 0;int t = pow(10, len_n - 1);right = m % t;          //分組left = (m - right)/t;right = qiumi(right, e, n);     //分組加密left = qiumi(left, e, n);ans = left * pow(10, len_n) + right;}else{ans = qiumi(m, e, n);}return ans;
}ll jiemi(ll c, ll d, ll n)
{int len_n = 0, len_c = 0, t;//計算n的長度t = n;while (t){t = t / 10;len_n++;}//計算密文的長度t = c;while (t){t = t / 10;len_c++;}ll ans = 0;if (len_c > len_n){ll right = 0, left = 0;int t = pow(10, len_n);right = c % t;           //分組left = (c - right)/t;right = qiumi(right, d, n);      //分組解密left = qiumi(left, d, n);ans = left * pow(10, len_n-1) + right;}else{ans = qiumi(c, d, n);}return ans;
}int main()
{ll p, q, e, n, m, c, fn, d, m1, c1;;cin >> p >> q >> e >> m >> c;//判斷p、q是否為質數if (Miller_Rabin(p))cout << "Yes" << endl;if (Miller_Rabin(q))cout << "Yes" << endl;//計算n和fn；if (Miller_Rabin(p) && Miller_Rabin(q)){n = p * q;fn = (p - 1) * (q - 1);}cout << n << endl;//用擴展歐幾里得算法求dd = getInv(e, fn);cout << d << endl;//加密c1 = jiami(m, e, n);cout << c1 << endl;//解密m1 = jiemi(c, d, n);cout << m1 << endl;return 0;
}

總結

以上是生活随笔為你收集整理的RSA算法(不要求支持大数)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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