problem

luogu

現有$N(1\le N\le 300)$ 個盤子，編號為$1,2,3,\dots ,N$。

第 $i$個盤中放有 $a_i(1\le a_i\le 3)$個壽司。

接下來每次執行以下操作，直至吃完所有的壽司。

從第 $1,2,3,\dots ,N$ 個盤子中任選一個盤子，吃掉其中的一個壽司。若沒有壽司則不吃。

若將所有壽司吃完，請問此時操作次數的數學期望是多少？

solution

最直接地設 $f(a_1,a_2,a_3,...,a_n):$ 第 $i$ 盤還剩 $a_i$ 個壽司的期望次數。

那么枚舉隨機到的盤子，有方程：$f(a_1,a_2,...,a_n)=1+{\sum }_{i=1}^n\frac{1}{n}f(a_1,a_2,...,\max (a_i?1,0),...,a_n)$。

顯然這個等式不能構成轉移方程，因為存在原地打轉（第 $i$ 盤壽司為空時，就變成了自身轉移到自身，狀態不變）的情況。

由于隨機均勻分布，盤子的位置是不重要的，事實上我們真正關注的只有盤子中剩余壽司的數量。

而 $a_i$ 壽司數量又只有四種取值 $0/1/2/3$。

不妨重新設 $f(o,i,j,k):$ 當前還剩下 $o/i/j/k$ 個盤子中有 $0/1/2/3$ 個壽司。

則有轉移：
$$f(o,i,j,k)=1+\frac{o}{n}f(o,i,j,k)+\frac{i}{n}f(o+1,i?1,j,k)+\frac{j}{n}f(o,i+1,j?1,k)+\frac{k}{n}f(o,i,j+1,k?1)$$

$$\frac{n?o}{n}f(o,i,j,k)=1+\frac{i}{n}f(o+1,i?1,j,k)+\frac{j}{n}f(o,i+1,j?1,k)+\frac{k}{n}f(o,i,j+1,k?1)$$

$$f(o,i,j,k)=\frac{n}{i+j+k}+\frac{i}{i+j+k}f(o+1,i?1,j,k)+\frac{j}{i+j+k}f(o,i+1,j?1,k)+\frac{k}{i+j+k}f(o,i,j+1,k?1)$$

這樣就不存在狀態相同的死循環轉移了。

但是現在是 $O(n^4)$ 的，需要進一步優化。

不難發現，盤子數量是固定不變的，即 $o+i+j+k=n$，所以當我們知道了其中任意三個數，就能推出剩下一個數。

設 $f(i,j,k):$ 當前還剩下 $i/j/k$ 個盤子中有 $1/2/3$ 個壽司。
$$f(i,j,k)=\frac{n}{i+j+k}+\frac{i}{i+j+k}f(i?1,j,k)+\frac{j}{i+j+k}f(i+1,j?1,k)+\frac{k}{i+j+k}f(i,j+1,k?1)$$
最后還要注意循環枚舉的細節：

• $k$ 只用了 $k?1$，當在 $(i,j)$ 時會問到 $j+1$，所以 $k$ 要在 $j$ 循環的外層。
• 同理 $j$ 會用到同 $k$ 下的 $j+1$，但此時是 $i?1$，所以 $j$ 循環要在 $i$ 的外層。
• 綜上我們確定唯一的循環順序是 $k,j,i$。

時間復雜度： $O(n^3)$。

code

#include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define maxn 305 double f[maxn][maxn][maxn]; int a[5]; int n; int main() {scanf( "%d", &n );for( int i = 1, x;i <= n;i ++ ) scanf( "%d", &x ), a[x] ++;for( int k = 0;k <= n;k ++ )for( int j = 0;j <= n;j ++ )for( int i = 0;i <= n;i ++ )if( i or j or k ) {if( i ) f[i][j][k] += f[i - 1][j][k] * i / (i + j + k);if( j ) f[i][j][k] += f[i + 1][j - 1][k] * j / (i + j + k);if( k ) f[i][j][k] += f[i][j + 1][k - 1] * k / (i + j + k);f[i][j][k] += n * 1.0 / (i + j + k);} printf( "%.10f\n", f[a[1]][a[2]][a[3]] );return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的[AtCoder Educational DP Contest] J - Sushi（期望dp）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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