problem

luogu-P2423

solution

本題即求無向圖最大團問題。這是個 $\text{NP?hard}$ 問題，所以必須從圖的特殊性質出發，否則只能暴搜。

異或運算等價于二進制下不進位的加法運算。

$\text{observation1}:$ $A$ 國人之間做朋友的條件等價于兩人的 $a_i$ 奇偶性不同。

$\text{observation2}:$ 基于上一條，我們可以得出最大朋友圈中 $A$ 國人數只可能包含 $0/1/2$ 人。

$\text{observation3}:$ $B$ 國人的限制有兩種，且是各自獨立的。

$\text{observation4}:$ 將 $B$ 國人按照 $b_i$ 的奇偶性分類，則兩類之間的人一定都是兩兩可以做朋友的。

$\text{observation5}:$ 而第二種限制的朋友關系則是一個在奇數類一個在偶數類。

$B$ 國分類后的情況形似二分圖。

只不過二分圖是，左右內部兩兩無邊，然后有連接左右的邊。

這里是左右內部兩兩有邊，然后有連接左右的邊。

$\text{observation6}:$ 原圖的補圖是個二分圖，且原圖的最大團等于補圖的最大獨立集。

最大團是兩兩有邊，最大獨立集是兩兩無邊，感覺上原圖的最大團就應該等于補圖的最大獨立集。

嚴謹證明可自行百度。

而二分圖的最大獨立集又等于二分圖的最小點覆蓋。

而二分圖的最小點覆蓋又等于總點數減去最大匹配數。

所以問題就變成了求補圖（二分圖）的最大匹配數，網絡流即可。

至于 $A$ 國的人，直接枚舉是選 $0/1/2$ 個人，然后每次重新建圖跑網絡流即可。

因為有 $A$ 國人的存在，所以只用考慮與枚舉的 $A$ 國人是朋友的 $B$ 國人跑網絡流即可。

具體可以看代碼實現。

code

#include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define maxn 3005 int T, A, B, M, s, t, cnt, ans, tot; queue < int > q; vector < int > G[maxn]; pair < int, int > e[maxn * maxn]; struct node { int to, nxt, flow; }E[maxn * maxn]; int head[maxn], cur[maxn], dep[maxn], vis[maxn], a[maxn], b[maxn]; int g[2][maxn];void addedge( int u, int v ) {E[++ cnt] = { v, head[u], 1 }, head[u] = cnt;E[++ cnt] = { u, head[v], 0 }, head[v] = cnt; }bool bfs() {memset( dep, 0, sizeof( dep ) );memcpy( cur, head, sizeof( head ) );dep[s] = 1; q.push( s );while( ! q.empty() ) {int u = q.front(); q.pop();for( int i = head[u];~ i;i = E[i].nxt ) {int v = E[i].to;if( ! dep[v] and E[i].flow ) dep[v] = dep[u] + 1, q.push( v );}}return dep[t]; }int dfs( int u, int cap ) {if( u == t or ! cap ) return cap;int flow = 0;for( int i = cur[u];~ i;i = E[i].nxt ) {int v = E[i].to; cur[u] = i;if( dep[v] == dep[u] + 1 ) {int w = dfs( v, min( cap, E[i].flow ) );if( ! w ) continue;E[i ^ 1].flow += w;E[i].flow -= w;flow += w;cap -= w;if( ! cap ) break;}}return flow; }void dinic( int n ) {while( bfs() ) {n -= dfs( s, 1e9 );//總點數-最大匹配 才是要求的補圖的最小點覆蓋 即原圖的最大團if( n <= ans ) return;}ans = n; }void build() {cnt = -1, memset( head, -1, sizeof( head ) );for( int i = 1;i <= tot;i ++ )if( vis[e[i].first] and vis[e[i].second] )addedge( e[i].first, e[i].second );for( int i = 1;i <= g[0][0];i ++ ) if( vis[g[0][i]] ) addedge( s, g[0][i] );for( int i = 1;i <= g[1][0];i ++ ) if( vis[g[1][i]] ) addedge( g[1][i], t ); }int main() {scanf( "%d", &T );while( T -- ) {scanf( "%d %d %d", &A, &B, &M );for( int i = 1;i <= A;i ++ ) G[i].clear();s = 0, t = B + 1, ans = tot = g[0][0] = g[1][0] = 0;for( int i = 1;i <= A;i ++ ) scanf( "%d", &a[i] );for( int i = 1;i <= B;i ++ ) scanf( "%d", &b[i] );for( int i = 1, x, y;i <= M;i ++ ) {scanf( "%d %d", &x, &y );G[x].push_back( y );}for( int i = 1;i <= B;i ++ ) g[b[i]&1][++g[b[i]&1][0]] = i;for( int i = 1;i <= g[0][0];i ++ )for( int j = 1;j <= g[1][0];j ++ )if( __builtin_popcount( b[g[0][i]] | b[g[1][j]] ) & 1 )continue;elsee[++ tot] = make_pair( g[0][i], g[1][j] );for( int i = 1;i <= B;i ++ ) vis[i] = 1;build(), dinic( B ); //一個A類人都不選for( int i = 1;i <= A;i ++ ) { //枚舉選的一個A類人memset( vis, 0, sizeof( vis ) );for( int x : G[i] ) vis[x] ++;int n = 1;//n當前情況的總點數for( int j = 1;j <= B;j ++ ) n += vis[j];if( n <= ans ) continue;else build(), dinic( n );}for( int i = 1;i <= A;i ++ )for( int j = i + 1;j <= A;j ++ )if( ( a[i] ^ a[j] ) & 1 ) {//枚舉選擇兩個A類人memset( vis, 0, sizeof( vis ) );for( int x : G[i] ) vis[x] ++;for( int x : G[j] ) vis[x] ++;int n = 2;for( int k = 1;k <= B;k ++ )if( vis[k] < 2 ) vis[k] = 0;else vis[k] = 1, n ++;if( n <= ans ) continue;else build(), dinic( n );}printf( "%d\n", ans );}return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的[HEOI2012] 朋友圈（最大团 + 结论 + 二分图 + 网络流）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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