同余最短路是用來解決一類 ${\sum }_{i=1}^n{a}_i{x}_i\in [L,R]$ 問題的方法。

其中 $L,R$ 值非常大，而 $n$ 不是很大，大概是接受 $O(n^2)$ 的范圍，$x_i$ 是自定義的系數。

先差分一下，變成 ${\sum }_{i=1}^n{a}_i{x}_i\in [0,R]?{\sum }_{i=1}^n{a}_i{x}_i\in [0,L?1]$。

我們選中其中 $a_i$ 最小的作為標準 $a_0$。

顯然，每個數都能表示成 $x{a}_0+r$ 的形式，$r$ 是余數 $<a_0$。

然后我們將所有的數按照 $r$ 分類，分出了 $a_0$ 個類，編號 $0～a_0?1$。

考慮當我們能夠湊出一個數 $t\in [L,R]$ 中，那么 $t+a_0,t+2a_0,...$ 都能被湊出來。

且不難發現這些數都屬于一個余數類中。

如果我們能求出每個余數類中最小被表示出來的數 $t_0$，那么就可以用 $?\frac{R?t_0}{a_0}?+1$ 算出這個類中的 $\in [0,R]$ 的合法數。

所以現在還需要快速求出每個類中的 $t_0$。

因為我們計算類中的個數就是無限制地用了 $a_0$，所以不妨在這里就不再使用。即我們使用若干個除 $a_0$ 外的所有 $a_i$ 來構造出。

假設我們能構造出某個余數類中的數 $t$，那么我們就能構造出編號為 $(t+a_i)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{a}_0$ 余數類中的數 $t+a_i$。

發現這個關系可以看作一條邊，而整個過程我們無非是在求到一個點（余數類）的最短路（最小能表示出的數）。

具體而言，將每個余數類建成一個點，然后點 $x$ 向 $(x+a_i)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{a}_0$ 點連邊，邊權為 $a_i$，然后求最短路。

從 $0$ 點開始，初始化 $\text{dis}(0)=0$ 即可。因為最小的可以被構造出來的數肯定是 $0$，什么數都不用即可。

跳樓機

luogu-P3403

注意：樓層是從 $1$ 開始的。我們整體往下移動一個單位即可。這題還不用差分，雖然差分沒有任何難度。

#include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define int long long #define Pair pair < int, int > vector < Pair > G[100005]; int h; int a[5], dis[100005]; priority_queue < Pair, vector < Pair >, greater < Pair > > q;void addedge( int u, int v, int w ) {G[u].push_back( make_pair( v, w ) ); }void dijkstra() {q.push( make_pair( dis[0] = 0, 0 ) );while( ! q.empty() ) {int u = q.top().second, w = q.top().first; q.pop();if( dis[u] ^ w ) continue;for( int i = 0;i < G[u].size();i ++ ) {int v = G[u][i].first; w = G[u][i].second;if( dis[v] > dis[u] + w )q.push( make_pair( dis[v] = dis[u] + w, v ) );}} }signed main() {scanf( "%lld", &h );for( int i = 1;i <= 3;i ++ ) scanf( "%lld", &a[i] );sort( a + 1, a + 4 );if( a[1] == 1 ) return ! printf("%lld\n", h );for( int i = 0;i < a[1];i ++ ) {addedge( i, ( i + a[2] ) % a[1], a[2] );addedge( i, ( i + a[3] ) % a[1], a[3] );}memset( dis, 0x3f, sizeof( dis ) );dijkstra();int ans = 0;for( int i = 0;i < a[1];i ++ )if( dis[i] <= h - 1 )ans += ( h - 1 - dis[i] ) / a[1] + 1;printf( "%lld\n", ans ); return 0; }

[國家集訓隊]墨墨的等式

luogu-P2371

#include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define int long long #define Pair pair < int, int > int n, l, r; int dis[500005], a[15]; priority_queue < Pair, vector < Pair >, greater < Pair > > q; vector < Pair > G[500005];void addedge( int u, int v, int w ) {G[u].push_back( make_pair( v, w ) ); }void dijkstra() {q.push( make_pair( dis[0] = 0, 0 ) );while( ! q.empty() ) {int u = q.top().second, w = q.top().first; q.pop();if( dis[u] ^ w ) continue;for( int i = 0;i < G[u].size();i ++ ) {int v = G[u][i].first; w = G[u][i].second;if( dis[v] > dis[u] + w )q.push( make_pair( dis[v] = dis[u] + w, v ) );}} }int query( int n ) {int ans = 0;for( int i = 0;i < a[1];i ++ )if( dis[i] <= n )ans += ( n - dis[i] ) / a[1] + 1;return ans; }signed main() {scanf( "%lld %lld %lld", &n, &l, &r );for( int i = 1;i <= n;i ++ ) scanf( "%lld", &a[i] );sort( a + 1, a + n + 1 );for( int i = 0;i < a[1];i ++ )for( int j = 2;j <= n;j ++ )addedge( i, ( i + a[j] ) % a[1], a[j] );memset( dis, 0x3f, sizeof( dis ) );dijkstra();printf( "%lld\n", query( r ) - query( l - 1 ) );return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【学习笔记】同余最短路的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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