problem

luogu-P2605

solution

首先，肯定都能想到最暴力的 $dp$。

$d{p}_{i,j}:i$ 個村莊為止一共選了 $j$ 個基站，且第 $i$ 個村莊一定建立基站的最小費用。

通過我們的定義可知第 $n$ 個村莊一定被選，實際上未必。

所以我們可以建立第 $n+1$ 個虛擬村莊，并要求改為建立 $m+1$ 個基站。

設置信息：建立花費 $c=0$，賠償花費 $w=\infty$，距離 $d=\infty$。這樣就不會被其余村莊覆蓋到也不會產生新花費而且一定建設。

邊界我們設計好了，就看狀態轉移方程。

$d{p}_{i,j}=c_i+\min \{d{p}_{k,j?1}+pay(k,i)\}k<i$。

注意到第二維 $j$ 是可以滾動的，所以本質上是一維的 $dp$ 轉移 $d{p}_i=c_i+{\min }_{k<i}\{d{p}_k+pay(k,i)\}$。

$pay(k,i):$ 相鄰兩個基站選址在 $k$ 和 $i$ 村莊，這中間未被覆蓋到的村莊一共支付的補償費。

這其實很好計算。

因為距離 $d$ 是遞增的，我們完全可以用 lower_bound() 找到每個村莊能被覆蓋到的最遠左右村莊。不妨記為 $s{t}_i/e{d}_i$。

即 $[s{t}_i,e{d}_i]$ 中有一個村莊建立了基站，那么 $i$ 村莊就可以被覆蓋到，不需要支付補償費。

通常遇到這種區間產生花費的，我們會選擇前綴和優化，然后分離 $i,k$ 各自的貢獻，把只有 $k$ 產生的貢獻揉成一坨扔到線段樹上，最小值查詢，但自己想想這里的區間與通常情況的是不一樣的。

通常情況的表述應為**“能覆蓋 $s_i$ 范圍內的所有基站”，而不是此題的“被覆蓋”**。

這里我們轉化一下。

再看一遍一維 $dp$ 的轉移，這次從 $d{p}_k$ 這里入手。

唯一給的限制是 $k<i$，所以 $k$ 的取值是一段區間。

不難想到用線段樹維護，把 $d{p}_k$ 當成節點權值，然后查詢區間最小值。

如果我們線段樹查出來的 $k<s{t}_x$，那么就需要支付 $w_x$。

而我們順次考慮到村莊 $i,s{t}_x\le i\le e{d}_x$ 的時候，因為 $i$ 必建設基站，所以 $x$ 村莊就會被覆蓋。

于是我們想到將這樣的 $x$ 村莊掛到 $e{d}_x$ 上面去，可能多個 $e{d}_x$ 相同，用前向星/$\text{vector}$ 存即可。

當 $i$ 考慮到 $e{d}_x$，考慮完后，$i\leftarrow e{d}_x+1$，我們就要給線段樹上 $[1,s{t}_x)$ 這些村莊加上 $w_x$ 的花費。

就是個線段樹區間加操作。

答案就是每一輪的 $d{p}_{n+1}$ 取最小值。

就沒了。時間復雜度，$O(nm\log n)$，因為每個 $x$ 只會掛在一個村莊下，遍歷到某個村莊就把掛著的所有 $x$ 的貢獻一股腦往線段樹上加，均攤下來是 $O(1)$ 的。

注意： 最開始的，只建設一個基站的情況要特殊初始化 $dp$，后面才能以 $j?1$ 個基站的 $d{p}_i$ 建樹。

code

#include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define inf 0x3f3f3f3f #define int long long #define maxn 20005 int n, k; int d[maxn], c[maxn], s[maxn], w[maxn], st[maxn], ed[maxn], dp[maxn]; vector < int > G[maxn];namespace SGT {#define lson now << 1#define rson now << 1 | 1#define mid (l + r >> 1)struct node { int tag, val; }t[maxn << 2];void pushdown( int now ) {if( ! t[now].tag ) return;t[lson].tag += t[now].tag;t[lson].val += t[now].tag;t[rson].tag += t[now].tag;t[rson].val += t[now].tag;t[now].tag = 0;}void build( int now, int l, int r ) {t[now].tag = 0;if( l == r ) { t[now].val = dp[l]; return; }build( lson, l, mid );build( rson, mid + 1, r );t[now].val = min( t[lson].val, t[rson].val );}void modify( int now, int l, int r, int L, int R, int v ) {if( R < l or r < L ) return;if( L <= l and r <= R ) { t[now].val += v, t[now].tag += v; return; }pushdown( now );modify( lson, l, mid, L, R, v );modify( rson, mid + 1, r, L, R, v );t[now].val = min( t[lson].val, t[rson].val );}int query( int now, int l, int r, int L, int R ) {if( r < L or R < l ) return inf;if( L <= l and r <= R ) return t[now].val;pushdown( now );return min( query( lson, l, mid, L, R ), query( rson, mid + 1, r, L, R ) );} }signed main() {scanf( "%lld %lld", &n, &k );for( int i = 2;i <= n;i ++ ) scanf( "%lld", &d[i] );for( int i = 1;i <= n;i ++ ) scanf( "%lld", &c[i] );for( int i = 1;i <= n;i ++ ) scanf( "%lld", &s[i] );for( int i = 1;i <= n;i ++ ) scanf( "%lld", &w[i] );++ n, ++ k, w[n] = d[n] = inf;for( int i = 1;i <= n;i ++ ) {ed[i] = upper_bound( d + 1, d + n + 1, d[i] + s[i] ) - d - 1;st[i] = lower_bound( d + 1, d + n + 1, d[i] - s[i] ) - d;G[ed[i]].push_back( i );}for( int i = 1, now = 0;i <= n;i ++ ) {dp[i] = now + c[i];for( int j : G[i] ) now += w[j];}int ans = dp[n];for( int j = 2;j <= k;j ++ ) {SGT :: build( 1, 1, n );for( int i = 1;i <= n;i ++ ) {dp[i] = c[i] + SGT :: query( 1, 1, n, 1, i - 1 );for( int p : G[i] ) SGT :: modify( 1, 1, n, 1, st[p] - 1, w[p] );}ans = min( ans, dp[n] );}printf( "%lld\n", ans );return 0; } 創作挑戰賽新人創作獎勵來咯，堅持創作打卡瓜分現金大獎

總結

以上是生活随笔為你收集整理的[ZJOI2010] 基站选址（线段树优化dp）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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