problem

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solution

將 $L,H$ 的范圍放縮 $\frac{1}{K}$，都除掉 $K$，特殊的 $L$ 邊界注意一下。

$H\leftarrow H/K,L\leftarrow (L?1)/K+1$。

問題轉化為 $[L,H]$ 中任選 $N$ 個數 $\text{gcd}=1$ 的方案數。

$T(i):$ 從 $[L,H]$ 中選 $N$ 個數 $i|\text{gcd}$ 的方案數，即 $(?\frac{H}{i}???\frac{L?1}{i}?{)}^N$。

$t(i):$ 從 $[L,H]$ 中選 $N$ 個數 $i=\text{gcd}$ 的方案數。

根據定義顯然有，$T(i)={\sum }_{i|d}t(d)$

莫比烏斯反演得 $t(i)={\sum }_{i|d}\mu (\frac{d}{i})T(d)$

答案即為 $t(1)={\sum }_{i=1}^{inf}\mu (i)T(i)={\sum }_{i=1}^{inf}\mu (i)(?\frac{H}{i}???\frac{L?1}{i}?{)}^N$。

$H,L$ 非常大，不能直接線篩后整除分塊。

但可杜教篩，設定一個閥值 $M$ 預處理出 $M$ 以內的 $\mu$，同樣整除分塊后杜教篩能做到 $O(H^{\frac{2}{3}})$。

按 $T(i)$ 分類，假設 $i\in [l,r]$ 的 $T(i)$ 都是一樣的，那么對 ${\sum }_{i=l}^r\mu (i)$ 進行杜教篩迅速求和。

${\sum }_{i=l}^r\mu (i)={\sum }_{i=1}^r\mu (i)?{\sum }_{i=1}^{l?1}\mu (i)$。這樣就化成了標準的杜教篩形式。

$\sum \mu (i):?=\mu ?I$。$h??;f?\mu ;g?I$。

$s(n)={\sum }_{i=1}^{n}f(i)={\sum }_{i=1}^n\mu (i)$

$g(1)s(n)={\sum }_{i=1}^n?(i)?{\sum }_{i=2}^{n}g(i)s(?\frac{n}{i}?)?s(n)=1?{\sum }_{i=2}^{n}s(?\frac{n}{i}?)$。

對 $s$ 函數進行記憶化遞歸，以及同樣的整除分塊。

這樣子連 $H?L\le 1e5$ 的性質都沒有用上！^_^ 這性質好像是拿來容斥遞推用的。

一些省掉的推導?莫比烏斯反演，杜教篩。

code

#include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define int long long #define mod 1000000007 #define maxn 1000005 int mu[maxn], prime[maxn]; bool vis[maxn]; unordered_map < int, int > mp; int N, M, K, L, H, cnt;int qkpow( int x, int y ) {int ans = 1;while( y ) {if( y & 1 ) ans = ans * x % mod;x = x * x % mod;y >>= 1;}return ans; }int solve( int n ) {if( n <= M ) return mu[n];if( mp.find( n ) != mp.end() ) return mp[n];int ans = 1;for( int l = 2, r;l <= n;l = r + 1 ) {r = n / ( n / l );( ans -= solve( n / l ) * ( r - l + 1 ) ) %= mod;}return mp[n] = ans; }signed main() {scanf( "%lld %lld %lld %lld", &N, &K, &L, &H );H /= K, L = ( L - 1 ) / K + 1;M = min( (int)1e6, H );mu[1] = 1; for( int i = 2;i <= M;i ++ ) {if( ! vis[i] ) prime[++ cnt] = i, mu[i] = -1;for( int j = 1;j <= cnt and i * prime[j] <= M;j ++ ) {vis[i * prime[j]] = 1;if( i % prime[j] == 0 ) { mu[i * prime[j]] = 0; break; }else mu[i * prime[j]] = -mu[i];}}for( int i = 1;i <= M;i ++ ) mu[i] += mu[i - 1];L --; int ans = 0;for( int l = 1, r;l <= H;l = r + 1 ) {if( ! ( L / l ) ) r = H / ( H / l );else r = min( H / ( H / l ), L / ( L / l ) );( ans += qkpow( H / l - L / l, N ) * ( solve( r ) - solve( l - 1 ) ) ) %= mod;}printf( "%lld\n", ( ans + mod ) % mod );return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的[CQOI2015]选数（数论分块+杜教筛）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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