problem

題目鏈接

solution

從最小一個數 $x$ 開始，將其 $2x,3x$ 放入，再將 $2(2x),3(2x),2(3x),3(3x)$ 放入，以此類推 $\dots$ 將其合并為一個集合。重復又找一個最小未進入集合的數 $x$。

顯然答案為若干個互不相交，并集為 $[1,n]$ 的集合答案的乘積。

一個集合里面的數字是相互制約的，不難發現集合大小不超過 ${\log }_{2}n?{\log }_{3}n$，大概就是 $17\times 11$。

考慮怎么計算一個獨立集合的可選方案數。

很巧妙的是這個限制只有兩個（兩倍和三倍），在平面內可以構造出一個矩陣。

矩陣中 $(i,j)$ 的右邊位置放其數值的三倍，下面位置放其數值的兩倍。

1 3 9 ...

2 6 18 ...

4 12 36 ...

那么答案就等價為在矩陣中隨機選任意個數，要求數兩兩不相鄰。

矩陣行列數都比較小，可以采取狀壓 $dp$ 求解。

顯然某一行是否合法與矩陣真實長相無關，至于選擇的位置有關。

所以提前預處理一行的選擇狀態，判斷是否合法。不合法當且僅當有相鄰兩列都選了，用 i<<1&i 判斷。

之后枚舉當前行及操作狀態，在合法的基礎上，枚舉上一行的操作狀態，再判斷兩行之間沒有同一列都操作了，用 s&t=0 判斷。

能構造矩陣，完全是因為限制一個數的條件只有兩個，可以放在二維平面內。這完全就是很投巧的想法。

code

#include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define mod 1000000001 #define int long long int N, n, m, ans = 1; bool vis[100005], g[1 << 20]; int lim[20], a[20][20], f[20][1 << 20];void init( int x ) {for( int i = 1;;i ++ ) {if( i == 1 ) a[i][1] = x;else a[i][1] = a[i - 1][1] << 1;if( a[i][1] > N ) break;else n = i;vis[a[i][1]] = 1;lim[i] = 2;for( int j = 2;;j ++ ) {a[i][j] = a[i][j - 1] * 3;if( a[i][j] > N ) break;else vis[a[i][j]] = 1, lim[i] = 1 << j;}} }int solve() {for( int i = 0;i < lim[1];i ++ ) f[1][i] = g[i];for( int i = 2;i <= n;i ++ )for( int s = 0;s < lim[i];s ++ ) {if( ! g[s] ) continue;f[i][s] = 0;for( int t = 0;t < lim[i - 1];t ++ )if( g[t] and ! (s & t) )f[i][s] = ( f[i][s] + f[i - 1][t] ) % mod;}int ret = 0;for( int i = 0;i < lim[n];i ++ )ret = ( ret + f[n][i] ) % mod;return ret; }signed main() {for( int i = 0;i < (1 << 19);i ++ )g[i] = ! (i << 1 & i);scanf( "%lld", &N );for( int i = 1;i <= N;i ++ )if( ! vis[i] ) init( i ), ans = ans * solve() % mod;printf( "%lld\n", ans );return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的[HNOI2012]集合选数（思维构造 + 状压dp）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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