CF1442D Sum

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luogu翻譯

solution

部分分做法，預處理每組前綴和，暴力背包 $dp$ 轉移：$d{p}_{i,j}=\max \{d{p}_{i?1,j?k}+su{m}_i(k)|0\le k\le l[i]\}$

正解也是背包，只不過需要發現一個性質。

必然存在一種最優方案滿足只有最多一組的產品是只抽了一部分的 。

證明：

若不同的兩組 $i,j$ 都只取了一部分，假設 $i$ 組取了 $x$ 個，$j$ 組取了 $y$ 個。

由題目性質可得：$a_i[x]\le a_i[x+1]\wedge a_j[y]\le a_j[y+1]$。

而 $a_i[x],a_j[y]$ 之間一定有一個大小關系，所以必然有 $a_i[x]\le a_j[y+1]\vee a_j[y]\le a_i[x+1]$。

這里不妨假設 $a_i[x]\le a_j[y+1]$ 成立，則有 $....\le a_i[x?1]\le a_i[x]\le a_j[y+1]\le a_j[y+2]\le ...$，那么將 $j$ 組選滿顯然更優，或者說至少不劣于。

所以可以不斷構造出一種不劣于原方案且少取一組的方案。

每次對兩個只取一部分的組進行上述調整過程即可得到上述結論。

只有一組是特殊的，容易想到枚舉這個特殊的組。其余組都是整組整組的轉移。

分治優化背包 $dp$ 即可。

在每個葉子點表示這組是特殊的，分治下來的途中背包 $dp$ 出 $d{p}_{d,j}:$ 前 $d$ 層選了 $j$ 個的最大值。

code

#include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define int long long #define maxn 3005 int f[20][maxn]; int sum[maxn], len[maxn]; int g[maxn][maxn]; int n, k, ans;void dfs( int d, int l, int r ) {if( l == r ) {ans = max( ans, f[d][k] );int w = 0;for( int i = 1;i <= min( len[l], k );i ++ ) {w += g[l][i];ans = max( ans, f[d][k - i] + w );}return;}int mid = ( l + r ) >> 1;for( int i = 0;i <= k;i ++ )f[d + 1][i] = f[d][i];for( int i = l;i <= mid;i ++ )for( int j = k;j >= len[i];j -- )f[d + 1][j] = max( f[d + 1][j], f[d + 1][j - len[i]] + sum[i] );dfs( d + 1, mid + 1, r );for( int i = 0;i <= k;i ++ )f[d + 1][i] = f[d][i];for( int i = mid + 1;i <= r;i ++ )for( int j = k;j >= len[i];j -- )f[d + 1][j] = max( f[d + 1][j], f[d + 1][j - len[i]] + sum[i] );dfs( d + 1, l, mid ); }signed main() {scanf( "%lld %lld", &n, &k );for( int i = 1;i <= n;i ++ ) {scanf( "%lld", &len[i] );for( int j = 1, x;j <= len[i];j ++ ) {scanf( "%lld", &x );if( j <= k ) g[i][j] = x, sum[i] += x;}}dfs( 1, 1, n ); printf( "%lld\n", ans );return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的[CF1442 D] Sum（分治优化dp + 结论）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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