因為只有std，沒有自我實現，所以是無碼專區

主要是為了訓練思維能力

solution才是dls正解，但是因為只有潦草幾句，所以大部分會有我自己基于正解上面的算法實現過程，可能選擇的算法跟std中dls的實現不太一樣。

std可能也會帶有博主自己的注釋。

problem

多組數據，給定 $n,m$，構造一個 $n+m$ 長度的 01 串。

• 包含 $n$ 個 $1$，$m$ 個 $0$。
• 將這個串看成二進制數后能被 $3$ 整除。
• 沒有前導零，即高位第一位必須為 $1$。

分別輸出字典序最大和最小的符合條件的 01 串。不存在就輸出 -1。

$T\le 100,n,m\le 1e5$

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我的想法

observation：二進制相鄰兩位若都是 $1$，則這兩個位代表的 $2$ 的冪的和一定是 $3$ 的倍數。

證明：$2^i+2^{i?1}=(2+1)?2^{i?1}=3k$。

如果 $n$ 為偶數。

• 字典序最大一定是形如 1111...100...000 。

• 字典序最小第一時間肯定會以為是 00...011..11 ，但是要求不能出現前導零。所以第一位固定為 $1$ 后，其代表的冪次，$2^i$ 取模 $3$ 一定是 $1/2$。

  • 如果取模是 $1$，那么只需要某一位也為 $1$【$2^k\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$】就又可以湊成倍數。形如 100...0010...0111..1111。
  • 如果取模是 $2$，那么只需要第一位也為 $1$就湊成倍數，形如 100..0011..111。

如果 $n$ 為奇數。

• 字典序最大。

  肯定也是前面一堆連續的 $1$，然后最后面的 $3$ 個數的冪次都是取模為 $1$。

  形如 111..10..01..0100...00（最前面的連續 $1$ 段長度肯定也是奇數）。

• 字典序最小。

  首位是 $1$ 沒得跑。肯定也是后面一堆連續的 $1$，然后最前面的 $3$ 個數的冪次都是取模為 $1$。

  形如 10...00010...010...011111...11（最后面的連續 $1$ 段長度得是奇數）。

顯然，偶數一定是有解的。奇數就不一定了，因為可能 $1$ 個數不夠。

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solution

簡單的討論。

如果只有一個 $1$， 或者 $1$ 的個數為奇數， 但 $0$ 的個數不超過 $1$， 那么無解。

• 只有一個 $1$， 顯然無解。
• 如果 $1$ 的個數為奇數， $0$ 的個數是 $0$ 個， 那么一定是 1111...111 這樣， 無解。
• 如果 $1$ 的個數為奇數， $0$ 的個數是 $1$ 個， 那么相當于 1111...1111 減去一個 $1$， 但是 $1111...1111$ 模三余 $0$， 減去一個 $1$ 之后模三不等于 $0$，所以無解。

如果 $n$ 是偶數， 那么最大值一定是 1111000000 這樣， 最小值首先放一個 $1$， 最后放 $n?2$ 個 $1$，剩下的一個 $1$ 用來和 第一個 $1$ 之間放偶數個 $0$ 保證能被 $3$ 整除。

如果 $n$ 是奇數，那么首先放 $n?3$ 個 $1$，這部分能被 $3$ 整除，然后放 10101，然后放若干個 $0$。最小值同理，開頭放一個 $1$，末尾放 $n?3$ 個 $1$，中間放 101，保證 1 和 101 中間有奇數個 $0$，這樣前半部分也被整除了。

時間復雜度 $O(n)$。

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std

#include <bits/stdc++.h> using namespace std;string mul(string a, int b) {string c;for (int i = 0; i < b; i++)c += a;return c; } string mx, mn;int main() {freopen("binary.in", "r", stdin);freopen("binary.out", "w", stdout);int T;scanf("%d", &T);while (T--) {int n, m;scanf("%d%d", &n, &m);if (n <= 1 || (n % 2 == 1 && m <= 1)) {mx = "-1";mn = "-1";} else {if (n % 2 == 0)mx = mul("1", n) + mul("0", m);elsemx = mul("1", n - 2) + "0101" + mul("0", m - 2);if (n % 2 == 0)mn = "1" + mul("0", m / 2 * 2) + "1" + mul("0", m % 2) + mul("1", n - 2);elsemn = "1" + mul("0", m / 2 * 2 - 1) + "101" + mul("0", m % 2) + mul("1", n - 3);}printf("%s\n%s\n", mx.c_str(), mn.c_str());} }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【无码专区5】01串（大讨论+构造）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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