CF750G New Year and Binary Tree Paths

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題目鏈接

一顆無窮個節點的完全二叉樹。

求有多少條樹上的簡單路徑編號和為 s。

$s\le 1e15$

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• 一條單鏈的情況

  考慮從節點$x$開始走一條節點個數是$h$的鏈（鏈長為$h?1$）

  假設從上往下一直往左子樹走【$x,2x,4x,8x...$】

  則貢獻為$x{\sum }_{i=0}^{h?1}{2}^i=(2^h?1)x$

  若鏈從下往上的第$i\in [1,h)$個點是右兒子，則會給標號和帶來獨立的${\sum }_{j=0}^{i?1}{2}^j=2^i?1$貢獻

  可以解出，$x$的取值只能是$?\frac{s}{2^h?1}?$

  證明：假設取$x?1$，且這條長$h$的鏈全走右子樹的貢獻是：

  $(2^h?1)(x?1)+{\sum }_{i=1}^{h?1}(2^i?1)=2^{h}x?x?2^h+1+2^h?1?h=(2^h?1)x?h<(2^h?1)x$

  這已經是最大的不是選$x$產生的可能貢獻了，所以只能是$x$

  這里同樣經典的，可以判斷能否用【$1,3,...,2^{h?1}?1$】構造出$s?(2^h?1)x$，先用大的開始嘗試（從最大的往小的開始一個一個試，有點類似倍增的思想不斷逼近直到相等的感覺）

• 分叉情況（兩條子鏈在根節點拼接）

  假設根節點為$x$，設$x$左兒子開始向下的鏈長度為$h_1$，右兒子開始向下的鏈長度為$h_2$，枚舉$h_1,h_2\in [1,{\text{log}}_2^s]$

  假設這兩條鏈都往各自的左兒子走，貢獻是：

  $x+2x(2^{h_1}?1)+(2x+1)(2^{h_2}?1)=(2^{h_1+1}+2^{h_2+1}?3)x+2^{h_2}?1$

  同理，$x$的位置也是唯一確定的，即$?\frac{s?(2^{h_2}?1)}{2^{h_1+1}+2^{h_2+1}?3}?$

  令$t=s$減去上面的貢獻

  同時，考慮怎么用各自某一層走右兒子產生的貢獻【$1,3,...,2^{h_1}?1;1,3,...,2^{h_2}?1$】來構造出$t$，轉換一下考慮用【$2,2^2,...,2^{h_1};2,2^2,...,2^{h_2}$】來湊$t$

  枚舉選了$n$個數，判斷能不能用這些數湊出$t+n$

  • 這里的實現考慮使用數位$dp$，$O(h_1{h}_2)$求出結果

    設$f_{i,j,k}:$ 前$i$位$h_1$和$h_2$兩條鏈的狀態一共選了$j$個$2$的次方【可能選了$2^2$，$2^{i?1}...$，反正一共選了$j$個】，是否有進位$k=1/0$的方案數

    對于每一位枚舉$h_1$鏈和$h_2$鏈上的選擇情況$s_1,s_2$

    注意到，如果$i=h_1$，這一位是不能選$1$【表示進位】的，$h_2$同理

    則可以得到轉移方程：$f[i+1][j+s_1+s_2][\frac{s_1+s_2+k}{2}]=\sum f[i][j][k](s_1+s_2+k\equiv ?\frac{t+n}{2^i}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2)?)$

時間復雜度為$O({\text{log}}^{5}s)$

code

#include <cmath> #include <cstdio> #include <cstring> #define maxn 60 #define int long long int s, m, now; int f[2][maxn << 1][2], mi[maxn];int calc( int goal, int q, int h1, int h2, int cnt ) {memset( f[now], 0, sizeof( f[now] ) );f[now][0][0] = 1;for( int i = 1;i <= log2( goal ) + 1;i ++ ) {int d = goal >> i & 1;now ^= 1;memset( f[now], 0, sizeof( f[now] ) );for( int j = 0;j <= ( i - 1 << 1 );j ++ ) //到i-1及以前可以一共選了[0,(i-1)*2]個數 左兒子(h1)鏈的選擇和右兒子(h2)鏈的選擇 for( int k = 0;k <= 1;k ++ )if( f[now ^ 1][j][k] )for( int s1 = 0;s1 <= 1;s1 ++ )if( ! s1 or i < h1 )for( int s2 = 0;s2 <= 1;s2 ++ )if( ! s2 or i < h2 )if( ( k + s1 + s2 ) % 2 == d ) //判斷同余 f[now][j + s1 + s2][( k + s1 + s2 ) / 2] += f[now ^ 1][j][k];}return f[now][cnt][0]; }signed main() {int ans = 0;scanf( "%lld", &s );mi[0] = 1;for( int i = 1;i < 60;i ++ ) {mi[i] = mi[i - 1] << 1;if( mi[i] > s and mi[i - 1] <= s ) m = i;}for( int i = 1;i <= m;i ++ ) { //單鏈的構造 int x = s / ( mi[i] - 1 );if( x <= 0 ) continue;int t = s - x * ( mi[i] - 1 );for( int j = i - 1;~ j;j -- )if( t >= mi[j] - 1 ) t -= mi[j] - 1;if( ! t ) ans ++;}for( int h1 = 1;h1 <= m;h1 ++ )for( int h2 = 1;mi[h2] - 1 <= s;h2 ++ ) {int x = ( s - mi[h2] + 1 ) / ( mi[h1 + 1] + mi[h2 + 1] - 3 );if( x <= 0 ) continue;int t = ( s - mi[h2] + 1 ) - x * ( mi[h1 + 1] + mi[h2 + 1] - 3 );if( ! t ) { ans ++; continue; }if( h1 == 1 and h2 == 1 ) { ans += ( t == 5 * x + 1 ); continue; } //x 2x 2x+1 -> 5x+1for( int n = 1;n <= h1 + h2;n ++ ) //枚舉選了n個右兒子 if( ( ( t + n ) & 1 ) == 0 ) ans += calc( t + n, x, h1, h2, n );}printf( "%lld\n", ans );return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的CF750G New Year and Binary Tree Paths（数位dp二进制+数学）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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