絲且人一口

• Virus Tree 2
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• RGB Coloring
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• 123 Triangle
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• [SDOI2016]排列計數
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• [HNOI2012]排隊
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• [HNOI2011]卡農
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Virus Tree 2

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距離不超過$2$的點，可能是兒子/孫子/父親/爺爺

考慮從上到下，由上面的顏色選取決定下面的顏色

顯然，第一個點有$K$種選擇，第二個點有$K?1$種，每次不同都要$?1$

答案就是每個點的選擇的乘積

所以只需要把這種過程的遞減通過dfs樹來實現

對于現在的子樹根節點$u$，如果$v$是第一個兒子，那么需要考慮$v$有沒有爺爺

如果不是第一個兒子，那么就是前一個兒子的方案數再$?1$

code

#include <cstdio> #include <vector> using namespace std; #define mod 1000000007 #define int long long #define maxn 1000005 vector < int > G[maxn]; int n, k; int w[maxn];void dfs( int u, int fa ) {int r = 0;for( auto v : G[u] ) {if( v == fa ) continue;else {if( r ) w[v] = r - 1;else if( ! fa ) w[v] = k - 1;else w[v] = k - 2;r = w[v]; }}for( auto v : G[u] ) if( v ^ fa ) dfs( v, u ); }signed main() {scanf( "%lld %lld", &n, &k );for( int i = 1, u, v;i < n;i ++ ) {scanf( "%lld %lld", &u, &v );G[u].push_back( v );G[v].push_back( u );}w[1] = k;dfs( 1, 0 );int ans = 1;for( int i = 1;i <= n;i ++ )if( w[i] <= 0 ) return ! printf( "0\n" );else ans = ans * w[i] % mod;printf( "%lld\n", ans );return 0; }

RGB Coloring

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將綠色$A+B$看成既涂了紅色$A$，又涂了藍色$B$，則紅色和藍色格子彼此獨立，就算涂在同一個格子上也沒關系

枚舉紅色格子的數量$i$，計算得出藍色格子數量$j=\frac{K?A\times i}{B}$

判斷格子數量為整數且都在$n$以內即可，然后用組合計數從$n$個格子中選紅/藍色

$\sum C_n^i\times C_n^j$

code

#include <cstdio> #define int long long #define mod 998244353 #define maxn 300005 int n, A, B, k; int fac[maxn], inv[maxn];int qkpow( int x, int y ) {int ans = 1;while( y ) {if( y & 1 ) ans = ans * x % mod;x = x * x % mod;y >>= 1;}return ans; }void init() {fac[0] = inv[0] = 1;for( int i = 1;i <= n;i ++ )fac[i] = fac[i - 1] * i % mod;inv[n] = qkpow( fac[n], mod - 2 );for( int i = n - 1;i;i -- )inv[i] = inv[i + 1] * ( i + 1 ) % mod; }int C( int n, int m ) {if( m < 0 || n < m ) return 0;else return fac[n] * inv[m] % mod * inv[n - m] % mod; }signed main() {scanf( "%lld %lld %lld %lld", &n, &A, &B, &k );init();int ans = 0; for( int i = 0, j;i <= n;i ++ ) {if( ( k - A * i ) % B ) continue;else j = ( k - A * i ) / B;ans = ( ans + C( n, i ) * C( n, j ) ) % mod;}printf( "%lld\n", ans );return 0; }

123 Triangle

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$N>1$式子是差分形式，后面序列只有能是$0/1/2$

（除非$N=1$的情況答案有可能是$3$）

如果此時序列有$1$，那么答案一定只能是$0/1$，因為$0/2$碰到$1$都會變成$1$

如果序列沒有$1$，則答案只會是$0/2$，對于這種情況，將每個數$/2$得到結果后再$\times 2$是等價的

所以現在的答案都只會是$0/1$，考慮在$(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2)$意義下做

在$(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2)$的情況下，加減法可以看成二進制的異或

所求即為一段序列相鄰兩個數異或直到最后成一個數的答案

考慮每個數被異或的次數，這其實是個倒楊輝三角$(0,0)$開始

長為$n$的序列的第$i$個元素被異或的次數為$C_{n?1}^{i?1}$

計算在模$2$意義下（除法不一定有逆元）的組合數

• 計算每個階乘中分解$2$的次數，將除法變成減法，對于組合數最后剩下的$2$的次數為$0$，則為$1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2)$，反之$0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2)$
• 階乘的分解，拆分成對每個數求出分解中$2$的次數，做前綴和

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#include <cmath> #include <cstdio> #define maxn 1000005 int n; char s[maxn]; int x[maxn], cnt[maxn]; int main() {scanf( "%d %s", &n, s + 1 );n --;for( int i = 1;i <= n;i ++ )x[i] = fabs( s[i] - s[i + 1] );bool flag = 1;for( int i = 1;i <= n;i ++ )if( x[i] == 1 ) { flag = 0; break; }if( flag ) for( int i = 1;i <= n;i ++ )x[i] >>= 1;for( int i = 1;i <= n;i ++ ) {int t = i;while( ! ( t & 1 ) ) t >>= 1, cnt[i] ++;cnt[i] += cnt[i - 1];}int ans = 0;for( int i = 1;i <= n;i ++ )ans ^= cnt[n - 1] - cnt[i - 1] - cnt[n - i] ? 0 : ( x[i] & 1 );if( flag ) ans <<= 1;printf( "%d", ans );return 0; }

[SDOI2016]排列計數

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組合數從$n$個中選$m$個強制$a_i=i$，剩下的$n?m$個$a_i=i$，就是$n?m$的錯排數

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#include <cstdio> #define mod 1000000007 #define int long long #define maxn 1000005 int fac[maxn], inv[maxn], D[maxn]; int T, n, m;int qkpow( int x, int y ) {int ans = 1;while( y ) {if( y & 1 ) ans = ans * x % mod;x = x * x % mod;y >>= 1;}return ans; }void init() {fac[0] = inv[0] = 1;for( int i = 1;i < maxn;i ++ )fac[i] = fac[i - 1] * i % mod;inv[maxn - 1] = qkpow( fac[maxn - 1], mod - 2 );for( int i = maxn - 2;i;i -- )inv[i] = inv[i + 1] * ( i + 1 ) % mod;D[0] = 0, D[1] = 0, D[2] = 1;for( int i = 3;i < maxn;i ++ )D[i] = ( D[i - 1] + D[i - 2] ) * ( i - 1 ) % mod; }int C( int n, int m ) {return fac[n] * inv[m] % mod * inv[n - m] % mod; }signed main() {init();scanf( "%lld", &T );while( T -- ) {scanf( "%lld %lld", &n, &m );if( n == m ) printf( "1\n" ); else printf( "%lld\n", C( n, m ) * D[n - m] % mod );}return 0; }

[HNOI2012]排隊

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不給模數還明示答案可能很大，赤裸裸的大整數脅迫！！居心叵測！！

兩名老師真的是很煩了，沒有這么討人厭的老師，可以直接女生插板法了

• 兩名老師之間是男生

  先排男生$A_n^n$，產生$n+1$個空

  再插板兩名老師，$A_{n+1}^2$，產生$n+3$個空

  最后插板$m$名女生，$A_{n+3}^m$

• 兩名老師之間是女生

  先排男生$A_n^n$

  再打包兩名老師放同一個隔板里，老師間還有順序，$A_2^2{C}_{n+1}^1$

  先強制選一名女生放進老師中間$m$，剩下的就隔板插

  男生$n$個，老師和強制女生打包裝成一個，總共是$n+1$個，產生$n+2$個空，$A_{n+2}^{m?1}$

綜上，$ans=A_n^n{A}_{n+1}^2{A}_{n+3}^m+A_2^2{C}_{n+1}^1{A}_{n+2}^{m?1}$

同樣，老師不相鄰$=$不考慮老師$?$老師相鄰

• 不考慮老師

  把老師當成男的，女的直接插，$A_{n+2}^{n+2}{A}_{n+3}^m$

• 老師相鄰

  捆綁法強制兩名老師一起當成一個男的$A_2^2{A}_{n+1}^{n+1}{A}_{n+2}^m$

二者做差就是答案

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#include <cstdio> #include <cstring> #include <iostream> using namespace std; int n, m;struct Int {int g[20000], len;Int() {memset( g, 0, sizeof( g ) );len = 0;}Int( int x ) {memset( g, 0, sizeof( g ) );len = 0;if( ! x ) len = 1;else while( x ) g[len ++] = x % 10, x /= 10;}void clean() {while( len > 1 && ! g[len - 1] ) len --;}Int operator - ( Int t ) {Int ans;ans.len = len;for( int i = 0;i < t.len;i ++ ) {ans.g[i] = g[i] - t.g[i];if( ans.g[i] < 0 ) ans.g[i] += 10, g[i + 1] --;}for( int i = t.len;i < len;i ++ )ans.g[i] = g[i]; ans.clean();return ans;}Int operator * ( Int t ) {Int ans;ans.len = len + t.len;for( int i = 0;i < len;i ++ )for( int j = 0;j < t.len;j ++ )ans.g[i + j] += g[i] * t.g[j];for( int i = 0;i < ans.len;i ++ )ans.g[i + 1] += ans.g[i] / 10, ans.g[i] %= 10;ans.len ++;ans.clean();return ans;} void print() {for( int i = len - 1;~ i;i -- )printf( "%d", g[i] );}};Int calc( int n, int m ) {Int ans = ( 1 );for( int i = n - m + 1;i <= n;i ++ )ans = ans * i;return ans; }int main() {scanf( "%d %d", &n, &m );Int ans;ans = calc( n + 2, n + 2 ) * calc( n + 3, m ) - calc( 2, 2 ) * calc( n + 1, n + 1 ) * calc( n + 2, m ); ans.print();return 0; }

[HNOI2011]卡農

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同種音樂其實通過除以$m!$就可以消掉

相當于在$S$中選$m$個子集，滿足

• 子集非空
• 不存在兩個完全一樣的子集
• ${?}_{i,i\in [1,n]}$每個元素出現次數為偶數

設$f_i:$ 考慮$i$個子集，滿足以上所有性質的方案數

• 如果知道$i?1$個子集的，那么$i$個子集的集合就被確定了下來$A_{2^n?1}^{i?1}$
• 如果子集是空，那么去掉這個子集剩下的$i?1$個子集是合法方案$f_{i?1}$
• 如果$i$子集與$j$子集重復，$j$有$i?1$種選擇，剔除這兩個子集剩下$i?2$子集是合法的$f_{i?2}$，$i$子集選擇有$2^n?1?(i?2)$（排除掉剩下$i?2$個子集，不能與之重復）

最后別忘了$m!$

code

#include <cstdio> #define mod 100000007 #define int long long #define maxn 1000005 int n, m; int A[maxn], f[maxn];int qkpow( int x, int y ) {int ans = 1;while( y ) {if( y & 1 ) ans = ans * x % mod;x = x * x % mod;y >>= 1;}return ans; }signed main() {scanf( "%lld %lld", &n, &m );f[0] = 1, f[1] = 0;int t = ( qkpow( 2, n ) - 1 + mod ) % mod;A[0] = 1;for( int i = 1;i <= m;i ++ )A[i] = ( A[i - 1] * ( t - i + 1 ) % mod + mod ) % mod;int MS = 1;for( int i = 2;i <= m;i ++ ) {f[i] = ( A[i - 1] - f[i - 1] - f[i - 2] * ( i - 1 ) % mod * ( t - i + 2 ) % mod ) % mod;MS = MS * i % mod;}printf( "%lld\n", ( f[m] + mod ) % mod * qkpow( MS, mod - 2 ) % mod );return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的数论三之排列组合Ⅱ——Virus Tree 2，RGB Coloring，123 Triangle，排列计数，排队，卡农的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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