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• T1：等比數列三角形
• • 題目
  • 題解
  • 代碼實現
• T2：電報
• • 題目
  • 題解
  • 代碼實現

T1：等比數列三角形

題目

求三邊都是 ≤n 的整數，且成等比數列的三角形個數
注意三角形面積不能為 0
注意 oeis 中未收錄此數列，所以并不需要去搜了

輸入格式
一行一個整數 n
輸出格式
一行一個整數表示答案

樣例
樣例輸入1
9
樣例輸出1
10
樣例解釋1
除去 9 個等邊三角形，還有 {4，6，9} 。

樣例輸入2
100
樣例輸出2
133

數據范圍與提示
一共有 4 個子任務，對于每一個子任務，你只有通過了該子任務的所有測試點，才能獲得此子任務的分數
有 10pts，保證 n≤10
有 20pts，保證 n≤10⁵
有 20pts，保證 n≤10⁵
有 50pts，保證 n≤10¹²
對于所有數據，有1≤ n≤10¹²

題解

注意{4,6,9}，{6,4,9}，{9,6,4}算同一個三角形，所以不用管順序
設三條邊從小到大分別為$a,ak,a{k}^2$($k$為公比且為正整數)
所以$1\le k$

---

就然要構成三角形，必然要滿足
$a+ak>a{k}^2=>1+k>k^2=>k^2?k?1<0$
解得$k<\frac{\surd 5+1}{2}$

綜上$k\in [1,\frac{\surd 5+1}{2})$

---

接下來令$k=\frac{p}{q}$($q,p$互質)，最大邊就表示為$a?\frac{p^2}{q^2}$
最大邊$\le n$，故此$q\le \surd n$
因為$q=\frac{p}{k}$，那么

• 當$k$取最大時，$q$取最小，把$k=\frac{\surd 5+1}{2}$帶入就解出了$q$的最小值，
  但因為k取不到這個開區間，q的這個最小值也是一個開區間
• 當k取最小時，$q$取最大，這是滿足$q=p$，$q$的這個最大值是一個閉區間

綜上$q\in (p?\frac{2}{\surd 5+1},p]$，在這里有個轉化思想，把$p$代換成$q$，得到$q\in (q?\frac{2}{\surd 5+1},q]$
我們就可以枚舉$p\in [1,\surd n]$，算出此時q的可取值個數
注意：其實理解成枚舉$q$也是說得通的

---

當這樣統計完后，會出現一個問題
$\{2，3，6\},\{4，6，9\}$這種公比為$\frac{3}{2}$的三角形，會被重復計算進公比為$\frac{6}{4}$
所以我們需要把這些排除掉，這也是為什么上面推導的時候$\frac{p}{q}$要保證互質
這里就可以用類似埃篩的方法，把$x$的因數里面算過的三角形減掉

要正著減，如果倒著，公比為$\frac{12}{8}$會先減掉公比為$\frac{9}{6}$而這里面還包含著$\frac{3}{2}$
會導致$\frac{3}{2}$被重復減掉

---

代碼實現

#include <cstdio> #include <cmath> using namespace std; #define LL long long #define MAXN 1000005 LL n, result; int ok[MAXN]; int main() {scanf ( "%lld", &n );int sqt = sqrt ( n );for ( int i = 1;i <= sqt;i ++ ) {int t = i * ( 2 / ( sqrt ( 5 ) + 1 ) );ok[i] = i - t;}for ( LL i = 1;i <= sqt;i ++ )for ( LL j = i << 1;j <= sqt;j += i )ok[j] -= ok[i];for ( LL i = 1;i * i <= n;i ++ )result += ( n / ( i * i ) ) * ok[i];printf ( "%lld", result );return 0; }

T2：電報

題目

給出 n 個點，每個點的出度均為 1，給出這 n 個點初始指向的點A[i] ，和改變這個點指向的目標所需要的價值 C[i]。
求讓所有點強連通的最小花費。

輸入格式
第一行輸入一個數 n 表示點的個數。
之后的 n 行每行兩個數 A[i]，C[i] 表示第 i 個點指向第 A[i] 個點，更改該點指向的點花費為 C[i]。
輸出格式
共一行，為讓所有點強連通的最小花費。

樣例
樣例輸入 1
4
2 2
1 4
1 3
3 1
樣例輸出 1
4
樣例解釋 1

很顯然，把 1–>2 的這條邊改成 （花費 4）的情況下構成強連通分量花費最小。

樣例輸入 2
4
2 2
1 6
1 3
3 1
樣例輸出 2
5
樣例解釋 2
很顯然把 1–>2 的這條邊改成 1–>4 花費 2，把 3–>1 的這條邊改成 3–>2 花費 3 的情況下構成強連通分量花費最小，總花費為 5。

樣例輸入 3
4
2 2
1 3
4 2
3 3
樣例輸出 3
4

樣例輸入 4
3
2 1
3 1
1 1
樣例輸出 4
0

題解

首先為了能變成強連通，樹上的點彼此之間需要破掉，先不動環上的點

如圖中：$7，8，9$和$10，11，12，13$就必須破掉，破成一條鏈

要么把$7\to 8$破掉，要么把$7\to 9$破掉，然后讓$7?8?9$連成一條鏈

可以用拓撲排序找到不是環上的點，然后把這棵樹破成鏈，如果本身是鏈就不進行操作

圖就變成多個環和多棵樹的形態

顯然，環彼此之間是相互獨立的，就可以掃一次先處理出所有的環

我們在上面進行樹上破成鏈的時候，把環延伸的鏈或樹也一起破掉

如圖中：就把$6\to 7$和$6\to 10$都給破掉

接著如果變成強連通，環與環之間必須相互有路去連通

就是復活環與之外連的某一條邊

意味著我們要把環破掉一條邊和外界相連

那么這個時候，對于環上的最佳答案點肯定滿足把它與它父親在環上的邊破掉，然后把它與自己延伸的鏈的點進行相連的操作花費最小

破環就是自己的$C$值，與鏈上的點保留一條邊，就是找鏈上點的$C$的最大值

如圖中：我們要把$6\to 1$破掉，復活$6\to 7$或者$6\to 10$任意一條邊

而且必須復活至少一條，這樣才能讓環與外面進行連通

但是如果圖上有多個點的復活值是負數，那么肯定是全選上，使答案變得更小

在上面破 環與鏈的邊 的時候，我們就記錄最大值的$C$，復活的時候，肯定復活這一條邊，其他邊的消耗遠小于這一條邊破掉的消耗

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最后我們來解釋一下代碼的一些地方，旁邊的小姐姐問了我很久

• 為什么是建反圖：
  想一想，如果我們建正圖，每個點都只會有一個指向點，即每個點的vector里面都只有$1$個點，怎么破鏈，復活等以上的操作呢？
  換言之，每個點要知道自己的后繼，才能知道破哪些邊

• flag||tot>1的問題，我們要知道
  當只有環的時候，如果環是多個，也需要破掉，使所有環彼此強連通
  當只有一個環的時候，如果環上有鏈也需要破掉，不然環上的點無法走到鏈上的點
  所以這里是取或，當且僅當原圖本身就是一個環才不用考慮復活

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代碼實現

這里定義isCircle[i]
1：表示這個點不在環上（PS：可能誤導了許多親故 ）
2：表示這個點在環上且已經經過了破樹或破鏈處理
0：表示這個點在環上但等待被處理

#include <queue> #include <cstdio> #include <vector> #include <cstring> #include <iostream> using namespace std; #define MAXN 100005 queue < int > q; vector < int > G[MAXN], circle[MAXN]; int n, tot; bool flag; int a[MAXN], c[MAXN]; int d[MAXN], g[MAXN], isCircle[MAXN]; long long result;int main() {scanf ( "%d", &n );for ( int i = 1;i <= n;i ++ ) {scanf ( "%d %d", &a[i], &c[i] );G[a[i]].push_back ( i );d[a[i]] ++;}for ( int i = 1;i <= n;i ++ )if ( ! d[i] ) {q.push ( i );isCircle[i] = 1;flag = 1;}while ( ! q.empty() ) {int t = q.front();q.pop();d[a[t]] --;if ( ! d[a[t]] ) {q.push ( a[t] );isCircle[a[t]] = 1;}}for ( int i = 1;i <= n;i ++ ) {if ( isCircle[i] == 1 ) {//破樹為鏈int Max = 0;for ( int j = 0;j < G[i].size();j ++ ) {Max = max ( Max, c[G[i][j]] );result += c[G[i][j]];}result -= Max;}else {for ( int j = 0;j < G[i].size();j ++ )if ( isCircle[G[i][j]] == 1 ) {//破環與外面延伸的鏈g[i] = max ( g[i], c[G[i][j]] );//記錄一條鏈的最大值result += c[G[i][j]];}if ( isCircle[i] == 0 )tot ++;int x = i;while ( isCircle[x] == 0 ) {//分離出環isCircle[x] = 2;circle[tot].push_back ( x );x = a[x];}}}if ( flag || tot > 1 ) {for ( int i = 1;i <= tot;i ++ ) {int Min = 0x3f3f3f3f;for ( int j = 0;j < circle[i].size();j ++ )//復活Min = min ( Min, c[circle[i][j]] - g[a[circle[i][j]]] );if ( Min >= 0 )//必須復活的一條邊result += Min;else {for ( int j = 0;j < circle[i].size();j ++ )if ( c[circle[i][j]] - g[a[circle[i][j]]] < 0 )//可多復活幾條邊result += c[circle[i][j]] - g[a[circle[i][j]]];//破掉i與fi的環上邊的時候，接的那一條邊肯定是接在fi上}}}printf ( "%lld", result );return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的等比数列三角形 （数论 + 黄金分割点）+ JOISC 2016 Day3 T3 「电报」（基环树 + 拓扑排序）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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