辛勤二更

• 題目
• 題解
• • 錯排數概念
  • 錯排數遞推公式及其證明
• 代碼實現

這種題做的時候：
做完后：正常這就是生活，我們要學會習慣

題目

求有多少種長度為 n 的序列 A，滿足以下條件：
1 ~ n 這 n 個數在序列中各出現了一次
若第 i 個數 A[i] 的值為 i，則稱 i 是穩定的。序列恰好有 m 個數是穩定的
滿足條件的序列可能很多，序列數對 10^9+7取模。

輸入格式
第一行一個數 T，表示有 T 組數據。
接下來 T 行，每行兩個整數 n、m。
輸出格式
輸出 T 行，每行一個數，表示求出的序列數

輸入輸出樣例
輸入
5
1 0
1 1
5 2
100 50
10000 5000
輸出
0
1
20
578028887
60695423
說明/提示
測試點 1 ~ 3：T=1000， n≤8， m≤8；
測試點 4 ~ 6： T=1000， n≤12，m≤12；
測試點 7 ~ 9： T=1000， n≤100， m≤100；
測試點 10 ~ 12： T = 1000，n≤1000， m≤1000；
測試點 13 ~ 14： T = 500000， n≤1000， m≤1000；
測試點 15 ~ 20： T = 500000， n≤1000000，m≤1000000。

題解

突然想感慨一番：

步入正軌↓（我真的很討厭這種有模數的方案數題）

題意很簡單，n個數固定m個數，那么就有n-m個數上的位置是不穩定的
也就是這n-m個數要滿足A[i]≠i，對于這n-m中的某個位置i，就只有n-m-1種填法

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錯排數概念

這里就引入錯排數的概念

n個有序的元素應有n!個不同的排列，如若一個排列使得所有的元素不在原來的位置上，則稱這個排列為錯排；有的也稱之為重排

錯排數遞推公式及其證明

求n個數的錯排數：$DP[n]=(n?1)?(DP[n?1]+DP[n?2])$
證明如下：
①考慮第n個元素，把它放在某一個位置，比如位置k，一共有n-1種放法
②考慮第k個元素，這時有兩種情況：
（1）把它放到位置n，那么對于除n以外的n-1個元素，由于第k個元素放到了位置n，所以剩下n-2個元素的錯排即可，有$f(n?2)$種放法；
（2）第k個元素不放到位置n，這時對于這n-1個元素的錯排，有$f(n?1)$種放法
運用加法以及乘法原理，得證完畢。。。

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處理完n-m后，我們就要處理m，要知道選的m的位置不同算不同的方案哦(⊙o⊙)！
這個其實就是排列組合，從n個數中選m個的方案數：
$$C_n^m=\frac{n!}{m!?(n?m)!}$$

這里寫出來后就發現這里面涉及到了除法，而取模運算中是不能進行除法運算的
所以我們就要去求$m!$和$(n?m)!$各自的逆元與$n!$相乘，
有很多方法都可以完成，費馬小定理，擴展歐幾里得…

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代碼實現

#include <cstdio> #define mod 1000000007 #define LL long long #define MAXN 1000000 int T, n, m; LL sum[MAXN + 5], inv[MAXN + 5], dp[MAXN + 5]; LL qkpow ( LL x, int y ) {LL ans = 1;while ( y ) {if ( y & 1 )ans = ans * x % mod;x = x * x % mod;y >>= 1;}return ans % mod; } LL getinv ( LL x ) {return qkpow ( x, mod - 2 ); } int main() {scanf ( "%d", &T );sum[0] = 1;inv[0] = 1;for ( int i = 1;i <= MAXN;i ++ ) {sum[i] = sum[i - 1] * i % mod;inv[i] = getinv ( sum[i] );}dp[0] = dp[2] = 1;for ( int i = 3;i <= MAXN;i ++ )dp[i] = ( dp[i - 1] + dp[i - 2] ) % mod * ( i - 1 ) % mod;while ( T -- ) {scanf ( "%d %d", &n, &m );printf ( "%lld\n", sum[n] * inv[n - m] % mod * inv[m] % mod * dp[n - m] % mod ); }return 0; }

byebye~~~~~~

總結

以上是生活随笔為你收集整理的[SDOI2016]排列计数 （错排数概念 + 递推公式【附带证明】）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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