雖然只有1道題，但是含金量還是夠夠di

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• 題目
• 題解
• 代碼實現

題目

題解

我們直接對答案輸出格式進行處理：設第 $i$ 天走的路程為 $a_i$，總路程為 $S={\sum }_{i=1}^{n}le{n}_i$，那么 $v={\sum }_{i=1}^m\frac{(a_i?\frac{S}{m}{)}^2}{m}$

因為輸出要乘以$m^2$，就變成了 ${\sum }_{i=1}^m(a_i?\frac{S}{m}{)}^2?m$

將求和 $sigma$ 拆開，得到 $m?({\sum }_{i=1}^m{a}_i?\frac{{\sum }_{i=1}^{m}2?a_i?S}{m}+{\sum }_{i=1}^m\frac{S^2}{m^2})$

再把 $m$ 丟進去，成為 $m?{\sum }_{i=1}^m{a}_i?{\sum }_{i=1}^{m}2?a_i?S+{\sum }_{i=1}^m\frac{S^2}{m}$

上述式子就變了：$m?{\sum }_{i=1}^m{a}_i?2?S?S+m?\frac{S^2}{m}$

化簡得，需要我們求 $m?{\sum }_{i=1}^m{a}_i^2?S^2$

因為 $m$ 和 $S$ 都是已知的，要求出最小答案，即需要我們求得 ${\sum }_{i=1}^m{a}_i^2$ 最小即可

我們要使得這個和最小，可以設 $dp[j][i]$ 表示 j 天走了 i 段路的最優方案

則有，$dp[j][i]=\min \{dp[j?1][k]+(s[i]?s[k]{)}^2\}(k\in [1，i?1]$，其中 $s_i$ 表示前 $i$ 段路的前綴和。

這樣，我們就可以直接對答案進行 $DP$，時間復雜度為 $O(n{m}^2)$

但是很顯然，這樣是不能把分拿滿的。考慮優化。

對于這個式子，很顯然，它的第一維是可以滾動的：我們設 $g(i)=dp[j?1][i]$

對于 $i$ 為 $a$ 和 $i$ 為 $b$ 兩個點，若 $a$ 比 $b$ 優，則

$g(a)+(s_i?s_a{)}^2<g(b)+(s_i?s_b{)}^2$

$?g(a)+s_a^2?2?s_i?s_a<g(b)+s_b^2?2?s_i?s_b$

$?\frac{(g(a)+s_a^2)?(g(b)+s_b^2)}{s_a?s_b}<2?s_i$ 【這一步成立的前提是因為 $s$ 是單調的】

可以發現，左邊是一個斜率式子。

斜率優化 $dp$ 即可。

代碼實現

#include <cstdio> #include <cstring> #define MAXN 3005 int n, m, len; int dp[MAXN][MAXN]; int s[MAXN], deq[MAXN * MAXN];int Find_y ( int u, int v, int j ) {int first = dp[j - 1][u] + s[u] * s[u];int second = dp[j - 1][v] + s[v] * s[v];return first - second; } int Find_x ( int u, int v ) {return s[u] - s[v]; }int main() {scanf ( "%d %d", &n, &m );for ( int i = 1;i <= n;i ++ ) {scanf ( "%d", &len );s[i] = s[i - 1] + len;}for ( int i = 1;i <= n;i ++ )dp[1][i] = s[i] * s[i];for ( int j = 2;j <= m;j ++ ) {int head = 1, tail = 0;for ( int i = 1;i <= n;i ++ ) {while ( head < tail && Find_y ( deq[head], deq[head + 1], j ) > 2 * s[i] * Find_x ( deq[head], deq[head + 1] ) )head ++;dp[j][i] = dp[j - 1][deq[head]] + s[i] * s[i] - 2 * s[i] * s[deq[head]] + s[deq[head]] * s[deq[head]];while ( head < tail && Find_y ( deq[tail], deq[tail - 1], j ) * Find_x ( i, deq[tail] ) > Find_y ( i, deq[tail], j ) * Find_x ( deq[tail], deq[tail - 1] ) )tail --;deq[++ tail] = i;}}printf ( "%d", m * dp[m][n] - s[n] * s[n] );return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的DP专练3：征途的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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